Только католическая церковь имеет апостольскую преемственность?

Ну если Христа можно как то сопоставить со святой инквизицией, то да. " Итак по плодам их узнаете их. "(Матфея 7:20). Только дела церкви, красноречивее множества слов, могут показать принадлежность к апостольской преемственности.

и Православная Церковь тоже

Апостольская Преемственность это очень важный признак Истинной Церкви. Это значит что Иисус Христос выбрал и благословил Своих апостолов на продолжение Его проповеди, а апостолы благословили своих учеников, которые благословили епископов и которые благословили священников и так до наших дней. Таким образом первоначальное благословение Иисуса Христа, а значит Святой Дух и утверждение, на каждом священнике в Церкви.
Апостольская преемственность существует в Православной Церкви и в Римской Церкви. Протестантские церкви ее утеряли. Это одна из многих причин почему в глазах Православной Церкви, Протестантские Церкви не Церкви, а христианские общества.

Нет, на самом деле Апостольская преемственность через чреду рукоположений от Апостолов до наших дней, это миф. Ее в таком виде даже Ап. Павел не имел.... А вот преемственность веры (Слова Божьего) от Апостолов сохранили как раз традиционные Протестанты опирающиеся на Св. Писание.

Католичество откололось от основного древа Православия Византии, значит только Православие имеет прямую преемственность от Апостолов.

Католическая Церковь так же как и Православная, Православная так же как и католическая имеют апостольскую преемственность. Вернее сказать сохранили апостольскую преемственность. Их таинства ( имеются все 7 и у тех и у других) действительны. протестанты эту преемственность в 16 веке утратили.