Как религия относится к словам "спасение утопающего, дело рук самого утопающего"? стоит пытаться помогать окружающим?

Иисус дал правило поведения, которое стало очень известным и обычно называется Золотым правилом. Он говорил: «Итак, во всем поступайте с людьми так, как хотите, что бы они поступали с вами, потому что в этом Закон и Пророки» (Матфея 7:12). Жить по этому правилу означает делать другим добро и относиться к ним так, как хотим, чтобы относились к нам.

На Бога надейся, а сам не плошай.

Не стоит, а это обязанность наша! Христианин не может быть эгоистом!

И если ты всенародно возвещаешь это «слово, которое в твоих устах», что Иисус есть Господь, и в своём сердце проявляешь веру, что Бог воскресил его из мёртвых, то спасёшься. 10 Сердцем проявляют веру к праведности, а устами всенародно возвещают ко спасению.
Каждый, кто призывает имя Иеговы, спасётся». 14 Но как призывать того, в кого не поверили? И как поверить в того, о ком не слышали? И как услышать без проповедующего? 15 И как проповедовать, если не будут посланы? Ведь написано: «Как прекрасны ноги возвещающих благую весть о добром рим. 10
Поэтому идите и во всех народах подготавливайте учеников, крестя их во имя Отца, Сына и святого духа 20 и уча их соблюдать всё, что я вам повелел. И я с вами во все дни до завершения этой системы вещей». мф28:19-20

Ну от части (на 50%), спасение зависит от самого человека.

По сути - это и есть смысл большинства религий.