Мусульмане, живёт ли ИГ по Корану и Сунне?

Всех убивают и взрывают всё подряд, значит живут по корану.

Нет, не живут.
А что тут обосновывать? Это целая диссертация получится.
В конце концов никакого джихада там нет и быть не может. Убийства, насилие, трактование Корана и Сунны на свой лад, продажа людей, воровство, беспорядки и пр. Все это порицается и считается тяжким грехом. Это не мусульмане, а самые настоящие неверующие люди, хотя так они называют других.

Есть разные мусульмани, и хрестияни и даже эти иуды и православные и будды так что все разные,

1. Не дозволяется в Исламе выпускать юридические постановления, кроме как при соответствующем уровне образования, позволяющем выносить фетвы согласно классическим трудам по основам юриспруденции. Также запрещено обрывать цитаты из Корана для вынесения решения без сопоставления их со всеми текстами, которые приходят из Корана или Хадисов по этому поводу. Иными словами, есть строгие объективные и субъективные предпосылки для фетв и не дозволяется выборочно отщипывать из аятов для вынесения юридических вердиктов, игнорируя оставшуюся часть Корана и Хадисов.
2. Не дозволяется в Исламе выносить юридические решения по какому бы то ни было поводу без глубокого знания арабского языка.
3. Не дозволяется в Исламе легкомысленный подход к Шариатским вопросам (чрезмерное упрощение) без овладения в полной мере Шариатскими науками.
4. Допустимы в Исламе [для ученых] расхождения в любом вопросе, кроме основных общеизвестных принципов религии.
5. Запрещено в Исламе игнорировать современные реалии при вынесении юридического постановления.
6. Запрещено в Исламе убийство невинного.
7. Запрещено в Исламе убийство эмиссаров/послов/дипломатов; следовательно, также запрещено убийство журналистов и сотрудников гуманитарной помощи.
8. Джихад не является дозволенным, кроме как по установленным в Шариате причинам, с установленными в Шариате целями и согласно установленным в Шариате правилам ведения джихада.
9. Запрещено в Исламе объявлять человека неверным, пока он открыто не заявит действием или словом о своем неверии.
10. Запрещено в Исламе вредить мирным иноверцам из числа «Людей Писания», к коим относятся и христиане.
11. Язиды в определенных вопросах также приравнены к «Людям Писания».
12. Возрождение рабского строя недопустимо, поскольку он был отменен по единогласному мнению ученых.
13. Запрещено в Исламе принуждение человека к религии.
14. Запрещено в Исламе отказывать женщинам в их правах.
15. Запрещено в Исламе отказывать детям в их правах.
16. Запрещено в Исламе предписание юридического наказания (худуд) без соблюдения установленных Шариатом правил.
17. Запрещено в Исламе подвергать людей жестоким пыткам.
18. Запрещено в Исламе осквернение/ уродование тел мертвых.
19. Запрещено в Исламе приписывать злодеяния Господу.
20. Запрещено в Исламе разрушать могилы и святыни Пророков, мир им, и их сподвижников.
21. Запрещены в Исламе вооруженные восстания по любым причинам, кроме как при явном выявлении неверия правителя и его запрете на совершение молитвы.
22. Запрещено в Исламе объявлять Халифат без проведения процедуры «шура» (согласования) со всеми мусульманами.
23. Допустимо в Исламе проявление любви к своим землям.
24. После смерти Пророка, мир ему и благословение Аллаха, Ислам не обязывает мусульман куда-либо переселяться.

http://chechnya.gov.ru/page.php?r=126&id=16253

Нет.

В ИГИЛ очень фанатичные мусульмане.