Допускает ли исламский этикет здороваться с посторонними мусульманскими женщинами?

4.88 Когда приветствуют вас каким либо приветствием; то приветствуйте их лучшим оного приветствием; или отвечайте таким же. Бог во всём потребует отчёта.

///
24.27 Верующие! Не входите в чьи либо домы, кроме своих домов, не испросивши на то позволения, и приветствуйте жителей их желанием мира. За это вам хорошо будет, и вы напоминайте себе это.
24.28 Если там никого не встретите, то не входите в него, покуда не будет вам позволено; если вам скажут: воротитесь, то вы воротитесь; это самое благопристойное для вас. Бог знает ваши поступки.
4.29 Не будет проступка с вашей стороны. Если войдете в нежилой дом, в котором будет что либо потребное для вас. Бог знает и то, что делаете открыто, и что скрываете.
24.30 Скажи верующим, чтобы они потупляли свои взоры; хранили бы себя от чувственных пожеланий: в этом для них наибольшая чистота. Бог ведает их дела.
24.31 Скажи также и верующим женщинам, что бы они потупляли свои взоры; хранили бы себя от половых пожеланий; показывали бы только те из своих нарядов, которые наружу, накладывали себе на грудь покрывала; показывали бы наряды свои только своим мужьям, своим отцам, отцам своих мужей, своим сыновьям, сыновьям своих мужей, своим братьям, сыновьям своих братьев, сыновьям сестёр своих, своим женщинам, невольницам, слугам таким, которые не имеют половых побуждений, детям, которые не распознают еще женской наготы; ногами своими не ступали бы они так, чтобы выставлялись закрытые наряды их. О верующие! С раскаянием все обратитесь к Богу, чтобы вам быть блаженными.
///

24.61 А когда вы входите в домы, то приветствуйте друг друга, желая мира, прося от Бога здравствования, совершенного, доброго. Таковы знамения открывает вам Бог для того, чтобы вы были умны.

///

С гигиеной там плохо вот потому-то и большинство таких загибов.

Может. Даже обязан, причем первым и вслух, а не себе под нос. Конечно, если он воспитанный человек.

допускает, только в присутствии мужчины - члена ee семьи

Смотря кто с кем здоровается .мужчина или женщина ?