Что такое чистая молитва, что такое духовная молитва?

В аскетической литературе встречается деление молитвы на виды: устная, умственная и сердечная. Относится это деление, главным образом, к молитве Иисусовой. Прохождение этих этапов - дело совершенных, долгими трудами поднявшихся на высокие ступени духовной жизни. Нам, далеким от совершенства, не нужно заниматься самоанализом. Иначе мы внесем в нашу духовную жизнь немало искусственного. Нам должно усвоить и опытно исполнять простые и драгоценные наставления святых отцов о молитве. Прежде всего, надо помнить, что молитва - живое, реальное общение с Богом. "Молитва есть средство для привлечения и длань для приятия всех благодатей, столь обильно изливаемых на нас из неистощимого источника беспредельной к нам любви и благости Божией" (Никодим Святогорец, преп. , Невидимая брань, М., 2002, с. 275). Поэтому она должна совершаться с вниманием. Приходит это не сразу. Надо явить терпение. Когда-то мы не умели читать и писать, но старание дало результаты. Так и научимся молитве. Нужно только постоянство.

Для продвижения в молитве важно полюбить ее, помня что время ее - минуты отрадного общения с любящим нас Небесным Родителем. Когда придет час совершать правило, должно начинать не сразу, а подготовить себя к молитве, настроиться на нее. На время молитвы мы должны постараться освободить ум от дневных житейских попечений. Состояние наше благоприятно для молитвенного делания, когда имеем душевный мир. Если человек с кем-то не примирился, то во время молитвы восстанут помыслы осуждения и обострятся чувства обиды и раздражения.
Наше совершенствование в молитве находится в прямой зависимости от наших достижений в духовной жизни. По мере очищения сердца и стяжания добродетелей молитва станет не только внимательной, умной, но и теплой, сердечной, живой.

Та, которая идет из глубины человеческого сердца, своими словами...

Понятие о Християнской молитве и краткое изяснение молитвы Господней как образца всяково нашево моление ето и есть духовная и чистая, а разделяет ето всё Ваша искренность в вере

Дух наш всегда чист, духовная молитва всегда чиста.
Душа иногда загрязняется, её и чистим духовной чистой молитвой.

Откуда взяли эти термины?

В любом случае термины довольно широкие, можно трактовать по-разному.

Чистая по-разному можно трактовать, я такого определения не слышала. Может имеется ввиду искренняя молитва, а может бескорыстная молитва. Духовная молитва - это молитва, в которой мы задействуем наш человеческий дух, это когда мы касаемся Господа и молимся в соответствии с тем, что хочет Он, а не с тем, что мы хотим или что нам кажется правильным.

Когда ум сосредоточен на молитве - это первая стадия молитвы сердечной. Почитайте труды Святителя Григория Паламы.