Какова механика выезда из РФ и въезда с двойным гражданством?

Начать надо с того, что Вы не понимаете, что такое двойное гражданство и чем оно отличается от второго гражданства. :)

Двойное гражданство -- это когда страна одного Вашего гражданства в определенных случаях может считать Вас гражданином страны второго Вашего гражданства и предоставлять Вам определенные коврижки, положенные только иностранцам, например, право на встречу с консулом в случае ареста или право ходатайствовать об отбытии срока лишения свободы в стране второго гражданства. Россия признает двойное гражданство только в соответствии с заключенными ею международными договорами. Таких договоров на сегодня ровно полтора -- один с Таджикистаном и половинка с Туркменистаном (Туркменистан несколько лет назад денонсировал этот договор в одностороннем порядке).

То, что Вы описываете, к двойному гражданству не имеет никакого отношения. Это имеет отношение ко второму гражданству. И паспорта Вы показываете исключительно те, которые имеют смысл в Вашей конкретной ситуации. Сначала один, а потом, если его недостаточно, второй.

Конкретный пример: человек летит из Москвы в Лондон с двумя паспортами -- России и Кипра. Авиалинии он показывает кипрский паспорт, поскольку с ним безвизовый въезд в Британию. Попросят показать документ, подтверждающий законность его пребывания в России -- покажет российский паспорт. Российским пограничникам на вылете он показывает российский паспорт. Британским пограничникам на прилете -- кипрский.

Та же вода в обратную сторону. Авиакомпании предъявляются оба паспорта (билет оформлен на кипрский, но российский тоже нужен, чтобы авиакомпания не шугалась на предмет привоза в страну людей без надлежащей паспортно-визовой документации -- за это предусмотрена ответственность). Выездные штампы в Британии не ставятся. Прилетев в Россию, человек показывает российский паспорт российским пограничникам.

Всё.

оба документа показываете, один авиакомпании доказать что у вас есть право безвизового вхезда в страну куда вы летите, второй пограничникам чтобы доказать что вам виза не нужна в россии

Вся "механика" просто указана в Законе " О выезде из РФ и въезде."

нет такой механики
запрет в рф на двойное гражданство есть, механики нет

Как это связано? Выехал, показал нужный паспорт, поехал)