Как подсчитать сумму 1+3+6+10+...+(n-1)*n/2+(n+1)*n/2

общий член записан верно n(n+1)/2
при n=1 получится 1
при n=2 получится 3
при n=3 получится 6 и т. д.
проверяем n(n+1)/2 - (n-1)n/2 = n, всё верно
когда выражен общий член зависимость уже перестаёт быть рекуррентной
нужно найти сумму n(n+1)/2=(n²+n)/2
обычно в таких случаях выражают общий член в виде f(n)-f(n-1)
причём, если общий член многочлен k-го порядка, то f(n) является многочленом k+1-го порядка
можно искать коэффициенты многочлена разными способами, например, можно так:
n³-(n-1)³=3n²-3n+1
n²-(n-1)²=2n-1
n-(n-1)=1
сразу выразим 3n²+3n, а затем разделим на 6
3n²+3n=(3n²-3n+1)+3·(2n-1)+2·1=n³-(n-1)³ + 3 · (n²-(n-1)²) + 2 · (n-(n-1))
(n²+n)/2 = 1/6 · (n³-(n-1)³) + 1/2 · (n²-(n-1)²) + 1/3 · (n-(n-1)) = f(n)-f(n-1),
где f(n) = 1/6 n³ + 1/2 n² + 1/3 n
когда общий член представлен в виде f(n)-f(n-1)
сумма легко находится
f(1)-f(0) + f(2)-f(1) + f(3)-f(2) + .+f(n)-f(n-1) = f(n)-f(0)
в данном случае f(0) = 0, поэтому искомая сумма равна
1/6 n³ + 1/2 n² + 1/3 n = (n³+3n²+2n)/6 = n(n+1)(n+2) / 6

Общие члены записаны неверно!
Зпишем такую таблицу
1 1 1 1 1 1 ...1
2 2 2 2 2....2
3 3 3 3....3
4 4 4....4
5 5....5
....
Кончается она номером ...n
Каждый ряд дает впоне определенное число
n; 2(n-1); 3(n-2)....; n*(n--n+1)=n
Осталось раскрыть скобки, из минусов вынести 2 и все получится....

с помощью программы, которую сами напишешь. удачи тебе в этом ^_^

алгебраическая или геометрическая зависимость. Открой эти темы и УЧИ УЧИ УЧИ!! ! И будет тебе свет в конце туннеля