...помогите с решением..очень нужна помощь..

1 / (x² + 2x + 2) - 1 / (x² + 2x + 3) ≥ 1/6
1) Замена: x² + 2x = t
1 / (t + 2) - 1 / (t + 3) - 1/6 ≥0
Далее приводим к общему знаменателю:
(6(t + 3) - 6*(t + 2) - (t + 2)(t + 3)) / (6*(t + 2)(t + 3)) ≥ 0
В числителе раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
(6t + 18 - 6t - 12 - t² - 5t - 6) / (6*(t + 2)(t + 3)) ≥ 0
(-t² - 5t) / (6*(t + 2)(t + 3)) ≥ 0
Это легко решить методом интервалов:

Числитель обращается в ноль при:
-t² - 5t = 0
t₁ = 0; t₂ = 5

Знаменатель обращается в ноль при:
6*(t + 2)(t + 3) = 0
t₁ = -3; t₂ = -2

Эти четыре точки (0; 5; -3; -2) разбавляют прямую на несколько промежутков, а точнее на пять промежутков.
Притом, точки -3 и -2 мы должны выколоть, так как в них у нас знаменатель обращается в ноль, а делить на ноль нельзя!
Ну и, чтобы узнать, где эта дробь: (-t² - 5t) / (6*(t + 2)(t + 3)) больше или равна нулю, нужно проверять эту дробь на наших пяти промежутках, там, где на промежутках она окажется больше или равна нулю и будет нашим ответом.
У меня получилось: t ∈ [-5; -3) ⋃ (-2; 0]

Теперь вернёмся к замене:
1) -5 ≤ x² + 2x < -3
x² + 2x < -3
Здесь нет действительных решений! Значит и всё это дело не имеет решений: -5 ≤ x² + 2x < -3

2) -2 < x² + 2x ≤ 0
x² + 2x ≤ 0
x ∈ [-2; 0]

x² + 2x > -2
x ∈ (-∞; ∞)

Ответ: x ∈ [-2; 0]

Обозначим (x + 1)^2 через у (у > 0)
Тогда x^2 + 2x + 2 = y + 1
x^2 + 2x + 3 = y + 2
Неравенство принимает вид:
1 / (y + 1) - 1 / (y + 2) >= 1 / 6
Делаем вычитание, получаем:
1 / (y + 1)(y + 2) >= 1 / 6
Отсюда
(y + 1)(y + 2) <= 6
y^2 + 3y - 4 <=0
Учитывая, что y > 0, имеем
0 < y <= 1
(x + 1)^2 <= 1
-1 <= x + 1 <= 1
-2 <= x <= 0

это что тренировка перед 1 сентября ))))))

.

Ответ я написал. Пытайся решить, так как расписывать всё проблематично.