можно ли расставить числа от 1 до 20 вершинах и серединах рёбер куба так,

Нельзя!
Доказательство:
Число 1 не может быть поставлено в середину ребра куба, т. к. полусумма ни одной пары оставшихся чисел не может быть равна 1. Наименьшее возможное значение такой полусуммы (2+4):2=3.
Следовательно, число 1 должно располагаться в вершине куба. Из этого вытекает, что в вершинах куба могут располагаться только нечетные числа (По условию сумма чисел, стоящих на концах ребра, должна делиться на 2 без остатка, т. е. быть четной. А сумма двух чисел, одно из которых нечетное, может быть четной только при условии, что и второе число тоже нечетное) .
Из этого следует, что число 20 будет располагаться в середине какого-либо ребра куба. Очевидно, что число 20 не может быть полусуммой каких-либо двух чисел, каждое из которых меньше 20.
Вывод: расположить числа указанным в задаче способом невозможно.

Если числа не должны повторяться, то расставить нельзя.
Число 20 не должно быть в вершине, это очевидно. Значит 20 стоит в середине ребра, а в вершинах должны стоять числа 19 и 1. Число 19 в вершине, к нему уже другие числа подобрать нельзя. Я так думаю.

кроме сочетания 19+1=20 есть много других у которых в сумме будет 20!
Я думаю что можно только надо подобрать цифры, но совершенно точно 20 и 19 не должны быть на вершине