В каждом предложении укажите какой частью речи ичленом предложения является слово "путем". Заранее спасибо))

Это существительное ПУТЁМ, предлог ПУТЁМ, употреблённый с существительным ДОГОВОРОВ, и наречие ПУТЁМ. Синтаксическая роль каждого указана ниже.

МЫ ПОЙДЕМ НАПРЯМИК, А ВЫ ИДИТЕ КРУЖНЫМ ПУТЁМ.

При слове ПУТЁМ есть прилагательное КРУЖНЫМ, следовательно, ПУТЁМ – это существительное ПУТЬ в форме творительного падежа единственного числа. Это существительное, так как:
◆ на падежный вопрос ЧЕМ? отвечает (вопрос как к части речи);
◆ обозначает предмет;
◆ имеет такие постоянные признаки существительного: оно нарицательное, неодушевлённое, мужского рода, разносклоняемое; непостоянные признаки – падеж и число названы выше;
◆ в предложении является обстоятельством образа действия – как к члену предложения к словосочетанию КРУЖНЫМ ПУТЁМ задаём вопросы КАК пойдём? КАКИМ ОБРАЗОМ пойдём? кружным путём.

ПРОБЛЕМУ БЕЖЕНЦЕВ СЛЕДУЕТ РЕШАТЬ ПУТЁМ ПЕРЕГОВОРОВ.

В этом предложении слово ПУТЁМ – производный ПРЕДЛОГ, образованный из существительного, так как:
◆ выражает зависимость существительного ДОГОВОРОВ от глагола РЕШАТЬ (решать путём договоров);
◆ выражает объектные отношения;
◆ с его помощью к существительному задаётся падежный вопрос (решать ПУТЁМ ЧЕГО? путём договоров), а вот к нему никакой вопрос задать мы не можем;
◆ употребляется с родительным падежом;
◆ не изменяется;
◆ в предложении сам по себе членом предложения не является, но входит в состав обстоятельства образа действия, выраженного существительным ДОГОВОРОВ, в образовании падежа которого он участвует наряду с окончанием -ОВ (вопросы к существительному с предлогом как к члену предложения – следует решать КАК? КАКИМ ОБРАЗОМ? путём договоров).

ВСЁ НАДО ДЕЛАТЬ ПУТЕМ, А У ТЕБЯ ВЕЧНО КАКИЕ-ТО ФОКУСЫ.

А в этом предложении слово ПУТЁМ – наречие образа действия, так как:
◆ как часть речи вопросы КАК? КАКИМ ОБРАЗОМ? отвечает и относится к глаголу: делать как, каким образом? путём;
◆ обозначает признак действия;
◆ образовано путём перехода в наречие творительного падежа существительного (довольно продуктивный способ образования этой части речи, так образованы и наречия зимой, весной, летом, осенью, утром, днём, вечером, ночью, шёпотом, боком, бочком, молчком, рывком, шагом, битком, ползком, силком, дыбом, калачиком, рысью, иноходью и др.);
◆ не изменяется;
◆ в предложении является обстоятельством образа действия – как к члену предложения задаём вопросы КАК, КАКИМ ОБРАЗОМ надо делать? путём.
.

Мы пойдем напрямик, а вы идите кружным путем. - имя сущ-ное, дополнение.
Проблему беженцев следует решать путем переговоров. - имя сущ-ное, дополнение.
Всё надо делать путем, ау тебя вечно какие-то фокусы. - наречие, обстоятельство