Математическая олимпиадная задача

Для начала: треугольников у нас 5 (пять), а окружностей - 4 (четыре). В четвертую окружность вписан треугольник Т_5.
Рассмотрим этот треугольник Т_5. Он - прямоугольный, потому что сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату третьей, большей, стороны: 12^2+16^2=144+256=400=20^2. Если вписанный треугольник Т_5 - прямоугольный, то его гипотенуза равная 20 - это диаметр окружности номер 4, в которую он вписан, значит d_4=20. Окружность диаметром d_4 - она вписана в прямоугольный треугольник Т_4.
Далее - стороны прямоугольного треугольника Т_5 - параллельны сторонам треугольников Т_4, Т_3, Т_2, Т_1. Значит Т_4, Т_3, Т_2 и Т_1 - тоже прямоугольные треугольники. При чём соотвествующие углы у них равны и синус одного из углов равен 16/20=4/5, а синус другого угла равен 12/20=3/5.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен: r=(a+b-c)/2, где a и b - это катеты, c - гипотенуза. Значит диаметр d=a+b-c.
a=c*sinA=3/5*c
b=c*sinB=4;5*c
Диаметр окружности номер 4 (в неё вписан треугольник Т_5) равен 20 (гипотенузе c_5)
c_5=d_4=a_4+b_4-c_4=20, где a_4, b_4 и c_4 - это стороны треугольника Т_4.
(3/5+4/5-1)*c_4=20
2/5*c_4=20
c_4=50 - это гипотенуза треугольника Т_4 и, одновременно, - это диаметр третьей окружности, то есть c_4=d_3.

По аналогии, c_4=d_3=a_3+b_3-c_3=50, где a_3, b_3 и c_3 - это стороны треугольника Т_3.
2/5*c_3=50
c_3=125 - это гипотенуза треугольника Т_3 и, одновременно, - это диаметр второй окружности, то есть c_3=d_2.

По аналогии, c_3=d_2=a_2+b_2-c_2=125, где a_2, b_2 и c_2 - это стороны треугольника Т_2.
2/5*c_2=125
c_2=312,5 - это гипотенуза треугольника Т_2 и, одновременно, - это диаметр первой окружности, то есть c_2=d_1.

c_1 - гипотенуза треугольника Т_1.
2/5*c_1=312,5

c_1=781,25
a_1=c_1*sinA_1=781,25*3/5=468,75
b_1=c_1*sinB_1=781,25*4/5=625.

Периметр треугольника... Не помню, это вроде сумма длин сторон треугольника...
П_1=a_1+b_1+c_1=468,75+625+781,25=1875.

Ответ: 1875.