Школы

Задачка по математика 6 класс.

В вершинах треугольника записаны числа 1, 2 и 3. Затем каждое из чисел одновременно заменили на сумму двух соседних. Эту операцию проделали еще некоторое количество раз. Могла ли сумма получившихся в итоге трех чисел оказаться равной 3000000?

Решение. Пусть в какой-то момент в вершинах записаны числа а, b и с. Тогда после указанной операции вместо них будут записаны числа b + c, c + a и a + b. Так как (b + c) + (c + a) + (a + b) = 2(a + b + c), то после каждой операции сумма трёх записанных чисел удваивается. Сумма исходных чисел не делится на 5, поэтому и сумма чисел, полученных после любого количества операций, на 5 делиться не может.
Вопрос: почему рассматривается деление именно на 5?
Мария Павлова
Мария Павлова
252
Потому, что число 3 000 000 можно представить в виде произведения простых множителей именно таким вот способом: 3 000 000 = 2 * 1 500 000 = 2 * 2 * 750 000 = 2 * 2 * 2 * 375 000 = 2 * 2 * 2 * 2 * 187 500 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 93 750 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 46 875 (для начала выяснилось, что исходное число - это 2^6*46875). Далее представим в составе делителей числа одну тройку: 3 млн = 2^6*3*15625. Больше ни на что, кроме как на пять, наше число уже не делится, ведь 15625 = 5^6. И так. Данные нам 3 млн - это произведение двоек, троек и пятерок. А то, что получается каждый раз при описанных в условии действиях с тремя числами в углах треугольника, сколько бы мы ни складывали, все одно и то же: получаемая сумма раскладывается на множители - несколько двоек и троек, увы, ни одной пятерочки. Вот оно и то самое несовпадение. Именно пять - число, на которое делится 3 млн, но не хочет делиться ни одна из получаемых сумм.
Alёnk@ Иванова
Alёnk@ Иванова
1 045
Лучший ответ
начальная сумма=6
повторение операций n раз умножит ее на 2^n
3 миллиона делится на 5, а 6*2^n увы нет
МЛ
Марина Ломачук
9 166

Похожие вопросы