Задачи по теории вероятностей

1) Обозначим события:
A - делал домашку
B - сдал экзамен
Дли них известно:
P(A) = 0.96
P(B/A) = 0.98
P(B/неA) = 0.05
Записываем вероятность совместного наступления событий неA и B:
P(неA,B) = P(неA) P(B/неA) = P(неA/B) P(B)
Выражаем искомую вероятность:
P(неA/B) = P(неA) P(B/неA) / P(B)
Распишем то, что вошло в это выражение:
P(неA) = 1 - P(A)
P(B) = P(B/A) P(A) + P(B/неA) P(неA)
Все собирайте, подставляйте числа)
-
2) Обозначим события:
x=1 - кошак спит на подушке
x=2 - кошак спит в тапке
x=3 - кошак спит в кресле
t - время сна кошака.
Известно:
P(x=1) = P(x=2) = P(x=3) = 1/3
P(t<30/x=1) = 0.7
P(t<30/x=2) = 0.8
P(t<30/x=3) = 0.5
Ищем:
P(x=1/t=10)
Применяем то же самое, только надо иметь ввиду, что t - величина непрерывная. Поэтому мы должны рассматривать не вероятность того, что кот спал ровно t = 10 минут, а вероятность того, что он спал от t до t + dt. То есть это дифференциально малый промежуток времени. Поэтому получится дифференциально малая вероятность Обозначается она dP(t=10). Запишем вероятность для события x=1 и t=10:
dP(x=1,t=10) = P(x=1) dP(t=10/x=1) = P(x=1/t=10) dP(t=10)
Выражаем искомую величину:
P(x=1/t=10) = P(x=1) dP(t=10/x=1) / dP(t=10)
Чтобы найти величины dP, рассмотрим сначала вероятность того, что в момент времени t кошак все еще дрыхнет (будем подразумевать, что это для какого-то конкретного x, но я не буду это явно писать):
S(t) ( то есть на самом деле это S(t/x) )
Вероятность того, что за промежуток времени dt, стремящийся к нулю, его разбудят, сам стремится к 0 вместе с dt. То есть его можно представить как v dt. Тогда вероятность того, что кошак еще будет спать к моменту t + dt равна:
S(t+dt) = S(t) (1 - v dt)
(вероятность, что он еще спал к моменту t, и что не будет разбужен за следующий промежуток времени dt). Преобразуем равенство:
[S(t+dt) - S(t)] / dt = - v S(t)
При dt, стремящемся к 0, слева имеем определение производной:
dS / dt = - v S
Разделяем переменные:
dS / S = - v dt
Интегрируем:
ln(S) = Const - v t
Выражаем S:
S(t) = C exp(- v t)
И знаем, что при t стремящемся к 0, вероятность, что кот не разбужен стремится к 1:
S(0) = C = 1
Получаем:
S(t) = exp( - v t)
Это вероятность того, что к моменту t кошак не разбужен. Тогда вероятность того, что к моменту t = z кошак разбужен (то есть поспал не более z):
P(t<z) = 1 - S(z) = 1 - exp(- v z)
Теперь вспоминаем, что для каждого x у нас свое v, то есть v[x]. Тогда:
P(t<z/x) = 1 - exp( - v[x] z)
Из данных условия можем запросто найти v(x) для всех x:
P(t<30/x=1) = 1 - exp( - v[1] 30) = 0.7
P(t<30/x=2) = 1 - exp( - v[2] 30) = 0.8
P(t<30/x=3) = 1 - exp( - v[3] 30) = 0.5
Теперь найдем dP(t/x):
dP(t/x) - вероятность того, что кошак разбужен в промежуток времени от t до t+dt.
P(t/x) - вероятность, что кошак был разбужен не позже t.
P(t+dt/x) - вероятность, что кошак был разбужен не позже t+dt.
Тогда видно, что (при dt стремящемся к 0):
dP(t/x) = P(t+dt/x) - P(t/x) = {[P(t+dt/x)-P(t/x)]/dt} dt = (dP/dt) dt
Производная:
dP/dt = v[x] exp(- v[x] t)
Тогда:
dP(t/x) = v[x] exp(- v[x] t) dt
Это вероятность того, что кошак разбужен в момент t при конкретном значении x (не в момент, а в малый промежуток времени величиной dt, но для простоты называют это просто моментом времени). А полная вероятность того, что кошак разбужен в момент t:
dP(t) = P(x=1) dP(t/x=1) + P(x=2) dP(t/x=1) + P(x=3) dP(t/x=3)
В конечном выражении величина dt сократится.
Собирайте все вместе, вычисляйте)

на хозяйской подушке?

для решения этих (и не только) задач тебе надо знать 3 вещи:
сумма вероятностей всевозможных событий в одном эксперименте = 1 (всегда)
логическое "и" - умножение
логическое "или" - сумма

(ну и понимать определение понятия "вероятность")