СРОЧНО ОСТАЛОСЬ 5 МИНУТ НА РЕШЕНИЕ

Учитывая, что число (120...120), состоящее из 360 цифр (120 групп по 3), всё ещё делится на 360, трудно сказать. Раньше доска закончится.

Можно попробовать найти максимальное кол-во цифр, где эта музыка остановится.

Например, число, оканчивающееся на 120, всегда делится на 8, но не делится на 16 (т.е. перед 1 может стоять только чётная цифра). Число, состоящее из серий цифр 1, 2, 0, всегда будет делиться на 3, а если кол-во таких серий кратно трём, то на 9, а если кратно 9, то на и 27. И конечно, оно кратно 5.
Так что мы можем получить число, которое делится на 1080: оно будет состоять из 1080 цифр, 360 серий "120". 360, понятное дело, кратно 9.
Число из 1080 серий "120" (всего 3240 цифр) будет делиться на 3240.
Число из 3240 серий "120" (всего 9720 цифр) будет делиться на 9720.
И так далее: нам никто не мешает утраивать количество цифр хоть до бесконечности, пользуясь признаком делимости на степени тройки.

Поэтому ответ такой: наибольшего числа с указанным свойством не существует.

Правда, если каждое промежуточное число должно делиться на кол-во своих цифр, это облегчает дело. Тут перебор:
1 делится на 1
12 делится на 2
120 делится на 3
1201, 1202 не делятся на 4
10 делится на 2
102 делится на 3
1020 делится на 4
10201, 10202 не делятся на 5
2 делится на 1
20 делится на 2
201 делится на 3
2012 делится на 4
20120 делится на 5
201201, 201202 не делятся на 6

До того, как мы упёрлись в тупик в каждом варианте, сворачивать было некуда, т.к. делимость на 3 обязывает держать сумму цифр кратной 3-м, делимость на 2 - последнюю цифру чётной (2 или 0), делимость на 4 - число из последних 2 цифр кратным 4-м (это либо 20, либо 12).

Поэтому на 20120 всё остановится.

20120.

12