Если задана функция sin5x или cos3x по какой формуле найти период?

Периодичность и непериодичность тригонометрических функций

Определение:

1. Функция f(х) называется периодической функцией, если существует число Т, такое, что выполняются условия: если x Î D(f), то x + T Î D(f) и x – T Î D(f)
2. для любого x Î D(f), f(x+T) = f(x).

Наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее этим условиям, называется периодом функции. Существуют функции, например постоянная f(x) = c неимеющие наименьшего положительного периода.
Из определения периодической функции следует:
f(x) = f(x+T )= f(x+T+T)= f(x+2T)=...= f(x+nT),
f(x-T) = f(x-T+T) = f(x)

Приведем примеры периодических функций:

1. функции sin х, cos х имеют период T = 2p;
2. функции tg х, ctg х имеют период Т =p
3. функции sin wx, coswх имеют период T = 2p/w;
4. функции tgwx, ctgwx имеют период Т = p/w.

Закрепление:
Исследуем на периодичность и непериодичность некоторые линейные комбинации тригонометрических функций, а также сложные тригонометрические функции.

Пример 1. Исследовать на периодичность функцию у = cos 5х + cos 7x.
Решение:
Период функции cos5x T1 = 2p/5, а функции cos7x Т2 = 2p/7.
Наименьшее число Т, при делении которого на 2p/5 и на 2p/7 получаются целые числа, есть число 2p, которое и будет периодом исходной функции.
Ответ: периодическая, T = 2p.
Пример 2. Исследовать на периодичность функцию y = sin 3x + sin pх.
Решение:
Период функции sin3x T1 = 2p/3, а функции sinpх - T2 = 2p/p = 2. Однако общего периода у функций sin3x, sinpх не существует, поскольку нет числа, при делении которого на 2p/3 и на 2 получились бы целые числа. Числа 2p/3 и 2 несоизмеримые.
Ответ: функция непериодическая.