Должен ли вал напольного вентилятора нагреваться (горячий) при работе и после выключения?

Нет, его нужно разобрать (мотор) и смазать вал

При работе должен. При остановке - нет

нет, не должен. Вентилятор через себя гоняет массу воздуха, да и в самом моторе есть крыльчатка для охлаждения. Скорее всего вал греется от трения, надо смазать вал и подшипники в местах контакта. Передний подшипник можно смазать, если снять решетки и лопасти, а чтобы смазать задний подшипник - придется разбирать.

Сильно стянутые крышки моторчика зажали подшипники скольжения. Капни масла машинного, отрегулируй прижим крышек, и чуток вал чиркалкой от спичек по три. чтобы наклёп от втулок убрать, легче кручётся мотору будёт. Но не плохо бы иметь в знакомых токаря. Я себе переделал на подшипники качения=уже четвёртый или пятый год крутится. И шуму нет. Ну для себя родного я оба их переделал.

Должен, при работе дольше 15 минут. Ротор греется, от статора, от обмоток и от железа, поступает тепло через подшипники скольжения, через тонкий быстроперемешиваемый слой воздуха между ротором и статором. Соответственно температура мотора выравнивается. Охлаждение идёт по воздушным каналам в моторе, наружных поверхностей. Со временем мотор прогревается до 50-70 градусов (в зависимости от изготовителя, модели и скорости вентилятора). После остановки остаточное тепло мотораВы и ощущаете. Это - нормально. Самые лучшие новые модели вентиляторов имеют температуру ротора (и вала, соответственно) 50 градусов при комнатной 26 градусов.

Вообще то не должен. может быть только теплым. там стоят латунные втулки вместо подшипников. они при трении нагревеются. смазывать их бесполезно. только заменить.

Это зависит от модели вентилятора. Дешёвые нагреваются при долгой работе.