Устраиваюсь на вторую работу. Что делать с трудовой?

Там просто будет вторая запись в трудовой, по идее.

ТК предоставляет право работать по совмещению, Вы имете право внести запись о совмещении, но это не принципиально.

в эту напишут как совместительство

Если официально, то не надо мудрить.

Первая работа - основная (запись в трудовой книжке);
Вторая работа - по совместительству (запись в трудовой книжке по желанию работника)
"Трудовой кодекс РФ" от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 27.12.2018)
Статья 66. Трудовая книжка
Трудовая книжка установленного образца является основным документом о трудовой деятельности и трудовом стаже работника.
Форма, порядок ведения и хранения трудовых книжек, а также порядок изготовления бланков трудовых книжек и обеспечения ими работодателей устанавливаются уполномоченным Правительством Российской Федерации федеральным органом исполнительной власти.
Работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной.
В трудовую книжку вносятся сведения о работнике, выполняемой им работе, переводах на другую постоянную работу и об увольнении работника, а также основания прекращения трудового договора и сведения о награждениях за успехи в работе. Сведения о взысканиях в трудовую книжку не вносятся, за исключением случаев, когда дисциплинарным взысканием является увольнение.
По желанию работника сведения о работе по совместительству вносятся в трудовую книжку по месту основной работы на основании документа, подтверждающего работу по совместительству.

по совместительству
оригинал на основной работе

Да, сразу парочку. На про запас