Куда обратится и как добиться перерасчета пенсии человеку?

Не в поликлинику же. В пенсионный фонд и только туда. И изменится не сама пенсия, а доплата да прожиточного минимума. Если в Москве, то для этого надо 10 лет регистрации.

Начисление пенсии не зависит от региона. А вот доплаты к пенсии зависят. Но для получения доплаты до прожиточного минимума и других доплат, обычно, необходимо прожить в регионе определенное время. А считать чужие пенсии, это только время терять. Вы же не знаете всех обстоятельств дела. Сходите в ПФ на консультации, там вам все разъяснят.

Только пенсионный фонд этим занимается

Этим занимается ПФР. Но пенсия назначается везде одинаково: по результатам заработка в прошлые года. Разная может быть только надбавка до прожиточного минимума. За ее назначением надо обращаться в соцзащиту.

Какие у вас разноплановые проблемы...

В новом регионе пенсионер должен прожить не менее скольки-то лет, только тогда будет получать пенсию наравне с остальными. В Москве - 10. Узнавайте на месте, какой срок постоянной регистрации установлен в вашем регионе.
П. С.: с вашим рассуждением все бы пенсионеры давно уже в Москву уехали.

Когда переведут пенсионное дело по новому месту жительства, надо обращаться а отделение ПФР и в органы социальной защиты населения (собес) для назначения соответствующих доплат.

Если вы про доплату до прожиточного минимума, то в зависимости от региона, может быть ПФ, может соцзащита. Если в вашем регионе соцзащита, то нужно смотреть региональное законодательство и условия назначения доплаты. Если вы хотите увеличить размер пенсии чистой, то нужно предоставить в ПФ какие-либо документы, которые могут повлиять на размер пенсии (например, справку о заработке)

Добиться можно только головой об стену

Обращаться в пенсионный фонд. Написать заявление по новому месту жительства для пересчета пенсии.