Есть ли видеокарта на компютер MicroXperts «SlimLine SL51-12» [ссылка появится после проверки модератором] если есть то какая ?

Написано же - видеосистема интегрированая. Т. е. встроенная в процессор в данном случае. Идем смотрим характеристики процессора:

Встроенная в процессор графическая система
Intel® HD Graphics 2500
Базовая частота графической системы
650 MHz
Макс. динамическая частота графической системы
1.1 GHz
Технология Intel® Quick Sync Video
Yes
Технология InTru™ 3D
Yes
Технология Intel® Insider™
Yes
Intel® Wireless Display
Yes
Интерфейс Intel® Flexible Display (Intel® FDI)
Yes
Технология Intel® Clear Video HD
Yes
Количество поддерживаемых дисплеев
3

Для подобных сборок не указывают начинку точно - чтобы иметь возможность всегда поменять на то, чего именно сейчас излишек на складе. Материнка здесь не указана, только чипсет. Порт PCI-E наверняка есть, но габариты материнки здесь играют не последнюю роль. Подойдет любая, которая влезет в этот корпус. Т. е. топовые (680, 670, 580) отпадают, но они там и не нужны - не для игр подобные решения, как о том честно и написано - мультимедийный центр. Разные достойные 560 Ti, 660 Ti, их меньшие собратья - 550, 650 - тоже, видимо, не подойдут. И тут дело не в том, что начинка слабовата и для этих видеокарт - может, и нет, но дело упрется опять-таки в размеры (не только длину, но и размеры системы охлаждения) и в то, что такие видеокарты все еще способны спалить на фиг эту игрушку: корпус маленький, любая горячая железка, любое повышение температуры резко повышают риск перегрева всего железа.
Назвать графические чипы, которые подойдут не получится как раз по причине того, что разные производители ставят разную систему охлаждения на свои продукты - некоторые тупо не влезут. Поэтому разберите, сделайте замеры (не только длины, но и ширины - под систему охлаждения, и ищите. Кроме размеров при поиске обращайте внимание на теплопакет.

Ну и разумеется, какую бы Вы ни выбрали видеокарту, Вам придется сменить блок питания. 150 Ватт - не смешно. Это как раз только для интегрированной системы. На какой БП менять - зависит от выбора видеокарты. Думаю, не меньше 500 Ватт.

PS Вообще, затея странная - покупать телевизор и пытаться сделать из него холодильник.