Как правильно называется организация, которая трудоустраивает людей к себе отправляет их на работу в другую организацию.

Называться может как угодно, но по сути это кадровое агентство осуществляющее услугу аутсортинга (аутсортинговая компания) или аутстаффинга.
Аутстаффинг (англ. out — «вне» + англ. staff — «штат» ) — вывод сотрудника за штат компании-заказчика и оформление его в штат компании-подрядчика, при этом он продолжает работать на прежнем месте и выполнять свои прежние обязанности, но обязанности работодателя по отношению к нему выполняет уже компания-подрядчик.
Компания-аутстаффер предоставляет сотрудников требуемой квалификации и несет ответственность за качество выполняемых персоналом услуг, если качество клиента не устраивает, персонал будет заменен на другой требуемой квалификации.
Аутстаффинг возник в западных странах в 1970-е годы во время экономического спада. В России спрос на него возник после кризиса 1998 года.
Иногда путают понятия «аутсорсинг» и «аутстаффинг» . Аутсорсинг — это передача ранее самостоятельно реализуемых компанией функций внешней компании-исполнителю, специализирующейся на реализации таких функций (например, услуги колл-центров, компаний, занимающихся уборкой зданий, юридических и бухгалтерских компаний, компаний по приготовлению и доставке обедов в офис и т. д.) . Аутстаффинг предполагает передачу не функций, а конкретных работающих в компании сотрудников. При этом эти сотрудники оформляются в штат сторонней организации, а фактически работают на прежнем месте и выполняют прежние функции.

Может центр занятости

Биржа

Такие организации называются аутсорсинговыми или аутстаффинговыми.

Аутстаффинг – перевод работодателем своих сотрудников за штат организации или прием на работу новых, но без оформления в штат.

Работодатель обращается за услугой в аутстаффинговое агентство, которое оформляет этих работников к себе, заключает с ними трудовые договоры, а после передает заказчику по договору предоставления персонала. При этом выведенные за штат работники трудятся на территории и под управлением клиента.

Аутсорсинг – использование работодателем труда внештатных сотрудников для выполнения определенных работ.

Аутсорсинговое агентство, куда работодатель обращается за услугой, подбирает для него работников нужной специализации на интересующий заказчика срок и заключает с ним договор на выполнение работ.

Сотрудники работают либо удаленно, либо на территории заказчика.

Подробнее читайте тут:

zashtatom.ru/uslugi/ofitsialnaya-rabota-dlya-inostrannykh-grazhdan-migrantov-trudoustroystvo-inostrantsev/

Мне надо устроится на работу для документов