помогите найти ошибку в софизме!

Все треугольники – равнобедренные. Эта изящная нелепость также приведена в книге Льюиса Кэррола. «Пусть ABC – некоторый произвольный треугольник. Разделим его основание BC пополам и из точки деления D проведем прямую DE, перпендикулярную BC. Разделим теперь угол BAC пополам. 1) Если биссектриса этого угла не пересекается с прямой DE, то, значит, они параллельны. Поэтому биссектриса будет перпендикулярна к основанию BC. Следовательно, AB = AC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный. 2) Если биссектриса этого угла BAC пересекается c прямой DE. Обозначим через F. Соединим точку F с точками B и C и проведем из F прямые FG и FH, перпендикулярные сторонам AC и AB соответственно. Треугольники AFC и AFH будут при этом равны, так как они имеют общую сторону AF, а углы FAG и AGF равны равны углам FAH и AHF. Следовательно AH = AG и FH = FG. Треугольники BDF и CDF также равны между собой, поскольку сторона DF у них общая, а углы при вершине D равны. Поэтому FB = FC. Кроме того треугольники FHB и FGC – прямоугольные. Следовательно, площадь квадрата, построенного на FB, равна сумме площадей квадратов, построенных на FH и HB. Точно так же площадь квадрата, построенного на FC, равна сумме площадей квадратов, построенных на FG и GC. Но FB = FC и FH = FG, и, следовательно, площадь квадрата, построенного на HB, равна площади квадрата, построенного на GC. Значит, HB = GC. С другой стороны, ранее было доказано, что AH = AG. Следовательно, AB = AC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный. Таким образом, треугольник ABC в любом случае оказывается равнобедренным, что и требовалось доказать» (и что так далеко от истины).