Каким образом в транзисторе происходит усиление электрических колебаний по мощности?

На базу транзистора подаётся малый ток (в случае с биполярным транзистором, который управляется током) . Когда этого тока становится достаточно, для того, чтобы транзистор сработал, открывается переход Коллектор-Эмиттер. Транзистор срабатывает как ключ. К примеру, Эмиттер подключён к "земле", Коллектор - к питанию. Когда на Базу поступает ток, переход Э-К открывается (то есть замыкается накоротко, почти) и по этому переходу от "+" к "-" течёт ток. Напряжение на выходе в грубом приближении равняется Uпитания - Uкэ. Где Uкэ - падение напряжения на переходе Э-К.
Если на базе переменный сигнал с переменными напряжением и током, то транзистор будет то открываться, то закрываться и сигнал будет как бы усиливаться. На самом деле через переход Э-К сигнал от источника питания будет то подаваться, то нет. И на выходе мы будем наблюдать не усилинное входное напряжение, а напряжение от источника питания (вернее - его часть) , которое то поступает в нагрузку (при открытом переходе Э-К) , то не поступает (при закрытом переходе) .
По мощности сигнал усиливается в результате того, что он усиливается по напряжению (или по току, в зависимости от схемы включения) . Мощность P = U*I.
Сигнал на самом деле не усиливается и КПД всегда будет меньше 1 (меньше 100%). Так как реальное напряжение на выходе всегда будет меньше напряжения от источника питания. Так как напряжение выходное будет в любом случае меньше напряжения питания (защитные резисторы, переход К-Э, нагрузки и прочее).

Транзистор просто повторитель. Мощность не халявная - она берется из источника.

во сколько раз площадь коллектора больше площади эмитера
электрическое поле коллектора во много раз больше поля базы и электроны леят мимо базы в коллектор

грубо говоря за счет того что вы малым током воздействуете на большой ток....