Какую антенну надо для радиоприёмника, чтобы можно было ловить Белгородское или Харьковское радио (за 120 км)

Применить польскую решётку с длинными усами и встроенным усилителем. И поднять повыше, направить в нужную сторону. Часто поляризация вертикальная, поэтому антенну надо повернуть, чтобы усы были вертикально.

бальшую антенну!

120 км для FM это много. 100% устойчивого приема добиться будет практически невозможно с любой антенной. Но вечерние или утренние часты можно кое что принимать. Для этого, как сказал О Н, придется делать большую антенну. Мне хватило трех элементов Яги (он же "волновой канал") для вашего расстояния. Если уж сильно надо, то найду размеры. А так, можно воспользоваться статьей: lib.qrz.ru/book/export/html/2128
Частотам FM-диапазона соответствуют частоты 5-го частотного канала.

Сопли, шнурки, водопроводные трубы, польские решетки и прочий хлам с чердака на таких расстояниях не поможет.

К батарее квартиры, будет корпус дома)

Есть два пути:
1. Сделать ант. "Длинный луч" - кинуть провод на высокое дерево или крышу соседнего дома. Чем длиннее тем лучше. Ее надо заземлять, когда не используешь и желательно поставить резистор килоом 100 на землю, для стекания статики. Статика будет обязательно во время снегопада.
2. диполь. это два проводника в одной плоскости лежащих на одной оси, один присоединен на ц. жилу коаксиала, второй на оплетку. Длина диполя примерно равна половине длины волны. Важно разместить диполь как можно выше. Эта ант. направленная, поэтому стоит сориентировать по громкости сигнала. Если ее еще настроить и согласовать и поставить повыше то получится хорошее усиление.

Речь идёт о диапазоне УКВ? На чердаке или крыше можно вдоволь найти брошенных антенн, причём чем значительнее будут их габариты, тем устойчивее будет сигнал. Для УКВ важны высота поднятия антенны и, для качества сигнала, ещё и направление на радиостанцию - эти волны распространяются в прямой видимости. Ставишь антенну повыше, на крышу, и направляешь в сторону нужного тебе города.