Как зависит высота потенциального барьера от ширины запрещённой зоны?

Чтоб это объяснить, придётся для начала понять, что такое уровень Ферми в запрещённой зоне.
Энергия электронов в полупроводнике подчиняется статистике Ферми-Дирака. Параметром этой статистики служит энергия Ферми, или уровень Ферми. Это величина энергии, для которой вероятность того, что электрон имеет вот такую энергию, равна 1/2.
Для абсолютно чистого полупроводника, без примесей, уровень Ферми лежит в середине запрещённой зоны. Легирование смещает положение уровня. Если примесь донорная (которая создаёт избыток свободных электронов), то уровень Ферми смещается к зоне проводимости, "вверх" (если посмотреть на рисунок, каким обычно изображается зонная структура полупроводника). Если примесь акцепторная, создающая дырки, то уровень Ферми смещается к валентной зоне, "вниз".
А теперь ещё одна важная фишка: чтоб создалась большая концентрация носителей, электронов или дырок, уровень Ферми должен находиться достаточно близко к границе соответствующей зоны. Ведь эти электроны там почему возникают: распределение Ферми - это плавная ступенька (при нулевой абсолютной температуре это чисто ступенька, при ненулевой - ну что-то типа гиперболического тангенса). И носители в зоне появляются потому, что хвост этого распределения частично залезает в зону. Это примерно так, как на рисунке (слева нелегированный полупроводник, справа - легированный донорной примесью).

Что тут видно: что когда нет примесей и энергия Ферми в середине, то практически нет и носителей ни в зоне проводимости, ни в запрещённой зоне. А когда энергия Ферми при легировании сдвигается вверх или вниз, то вероятность становится ненулевой, и они там появляются. И чем ближе уровень Ферми к границе зоны, тем она больше.
А что надо, чтоб через pn-переход потёк ток? Надо, чтоб хвосты двух распределений Ферми, одного для n-области и другого для р-области, перекрылись. Это и достигается подачей на pn-переход прямого смещения. Но, как я уже сказал, уровни Ферми должны быть БЛИЗКО К ГРАНИЦАМ ЗОН. И значит, чем больше ширина запрещённой зоны, тем большее напряжение надо подать, чтоб наступило означенное перекрытие.
То есть тут всё малость сложнее, чем "прямая пропорциональность", но, если въехать, не сильно сложнее.

прямопропорциональная зависимость