Новую Li-ion батарейку надо вначале разрядить и потом заряжать, или вначале зарядить и потом полностью разряжать?

Ничего ей не надо. Пользуйся, как удобно, да и все. При продаже ты ее получаешь еле-еле заряженную. Можешь так и хранить, либо можешь зарядить и приступать к работе.
Полный цикл заряда-разряда может быть нужен только для того, чтобы с батарейкой "познакомился" тот аппарат, где ей предстоит жить. Компьютер там, планшет и т. п. Который умеет показать остаток заряда в процентах или рассчитать время оставшейся работы. Но если аппарат не имеет особенных "мозгов", то даже этого ему не нужно.

просто пользуйся и заряжай, когда захочешь!

сколько можно повторять эти байки - эти правила были для никель-кадмиевых!

вы еще шоферам посоветуйте после каждой заводки машины разряжать аккум до конца и заряжать заново.

Нет, не нужно. Заряжаете и пользуйтесь, у лития нет такого
Многие помнят что это нужно было для никель-кадмиевых аккумуляторов, и по привычке, советуют тоже самое для литиевых, хотя для них это просто бессмысленный ритуал.

глубокий разряд убивает Li-ion батарейку

скорее воре, чем первое, но принцпиально - пофиг
естествнное старение произойдет быстрее, и дешевле купить, чем "обслуживать".. это для технманьяков, что получают от этого кайф - продлил ресурс батареии на полгода....

В теории - говорят не нужно. Те - просто зарядил и все. На практике - Li-ion и Li-po не любят глубокого разряда, ниже 30%, им плохеет.
Но иногда лучше первый раз до 15-20%(до 0% не нужно!) вначале разрядить и потом зарядить до 100%. Почему? Да потому что *****ть что у них нет эффекта памяти, есть он у них, просто слабовыраженный. И это иногда нужно, если это телефон/планшет и т. д. , могли потом более точно высчитывать время, на которое хватит аккумулятора. Но это делается тока первый раз, они реально не любят разряжаться, ресурс махом сажается. И разряженными они не должны хранится тем более! Минимум 30-50%, для хранения, рекомендуется.
И еще не рекомендуется заряжать на холоде.

Рекомендуется пару раз разрядить полностью и зарядить, но это не принципиально важно.

Надо просто зарядить и пользоваться устройством.

Новую Li-ion батарейку купил и пользуйся

ритуалы надо чтить
и таккже еще не забудте провести над ней обряд экзацирзма