Верно ли следующее: чем выше напряжение в колебательном контуре тем медленнее они затухают или наоборот?

Скорость уменьшения амплитуды колебаний НЕ зависит от ее величины, а определяется добротностью контура, от которой зависит затухание в нем.
1).Добротность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за время изменения фазы на 1 радиан. Обозначается символом Q.
Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.
Для последовательного колебательного контура Q=(1/R)*sqrt(L/C)
R-cопротивление катушки (малое).
Для параллельного контура Q=R*sqrt(C/L)
R -входное сопротивление контура (большое)
2).Логарифмический декремент затухания (λ) -безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд. λ=ln(X(0)/X(1))
Логарифмический декремент колебаний равен коэффициенту затухания β, умноженному на период колебаний T --->λ=β*Τ
Амплитуда затухающих колебаний со временем уменьшается по закону
x(t)=X(0)*e^(-β*t)*cos(ω*t)
Через добротность λ=2π/Q ----чем больше добротность контура, тем меньше затухание в нем.
Еще "на пальцах" добавлю. Амплитуда определяется напряжением питания (когда оно подключено). После отключения питания она уменьшается предположим за 10 периодов в 10 раз. Если начальная амплитуда будет меньше (при меньшем питании), то скорость затухания будет такая, как и первом случае, но 1/10 часть амплитуды Ваш осцилограф может не увидеть. У Вас может сложиться мнение, что колебание закончилсь на 6 периоде, т. е быстрее чем в первом случае.

напряжение - откуда? Как оно действует, если постороннее...

https://ru.wikipedia.org/wiki/Колебательный_контур
тут всё подробно прописано