Корень от числа на калькуляторе без соответствующей кнопки

Сделайте сами:
https://geektimes.com/post/95776/

если нет кнопки - значит нет микропрограммы в чипе. Или как минимум производитель решил не выводить эту кнопку. А откуда возмется тайная программа по комбинации клавиш?

А можно вот так:
1. есть алгоритм вычисления "уголком", не знаю, как сейчас, раньше в школе проходили, 8-й класс, не сложнее деления уголком.

2. есть древний сверхбыстрый алгоритм (в самом деле - метод Ньютона, он же - касательных).

Хотим извлечь корень из А, обозначим точный корень как r.

Возьмем какое-то начальное приближение r0. Вообще-то можно взять какое попало положительное число, но быстрее будет, если мы возьмем r0 больше, чем r, но не намного больше.
Например, если надо извлечь из А=123456, можно взять 400 - знаков вдвое меньше, первая цифра 4 в начале - что-то около корня из 12. Если лень - можно взять просто r0=A.

А теперь посмотрим на число A/r0: если у нас r0 < r, то A/r0 > r, и наоборот, если у нас r0 > r, то A/r0 < r.
Значит неизвестный нам точный корень r лежит где-то между r0 и A/r0. Давайте возьмем в качестве нового приближения середину этого отрезка, то есть r1=(r0 + A/r0) / 2. Потом так же получим следующее приближение итд.

Такой метод удваивает число точных знаков на каждом шаге, так что долго считать не придется.

Например:
400.00000000000000
354.32000000000000
351.37539850982200
351.36306031259300
351.36306009596400
351.36306009596400
- все сошлось на 15 знаков точности

Если есть возведение в степень - ну возведи в степень 0.5, делов-то.
Можешь разложить в ряд Тейлора. Считать неудобно (придется заново возводить в степень для каждого шага), но возможно.

Я так когда-то делал - надо запомнить последовательность нажатий нескольких кнопок.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Итерационная_формула_Герона
Но куда проще купить калькулятор с кв. корнем - стоит копейки. А еще лучше - инженерный калькулятор.

1. Подбором достаточно быстро корни находятся.
2. Метод усреднения применим.
Например; Корень из 10. Корень близок к 3: 3х3 = 9. Разделите 10/3 = 3,33. Найдите среднее арифметическое 3 и 3,33 = 3,1667. 10 разделите на полученное среднее арифметическое: 10/3,1667 = 3,1579. Опять найдите среднее арифметическое 3,1579 и 3,1667 = 3,1623.
Проверьте ответ: 3,1623х3,1623 = 10,001 - ошибка -третий знак после запятой. Это достаточно точно.
3. Когда появились в СССР первые японские калькуляторы (начало 70-х), то корня там в помине не было. Поэтому запомнил корень из двух, корень из трех, корень из пяти и семи. И многие корни (из 6, 8, 12,14, 18, 20 21, и т. п.) сразу вычислялись. Например корень из 20 = корень из пяти *2.

Есть какой то ряд для этого...

Если есть возведение в степень, то можно возвести в степень ½ или 0,5. Например 2^(1÷2)= 1.4142....То же самое с корнем любой степени, кубическим и т. д.