А есть ли способы извлечь квадратный корень из числа без калькулятора, если иррациональное число?

1. есть алгоритм вычисления "уголком", не знаю, как сейчас, раньше в школе проходили, 8-й класс, не сложнее деления уголком.

2. есть древний сверхбыстрый алгоритм (в самом деле - метод Ньютона, он же - касательных).

Хотим извлечь корень из А, обозначим точный корень как r.

Возьмем какое-то начальное приближение r0. Вообще-то можно взять какое попало положительное число, но быстрее будет, если мы возьмем r0 больше, чем r, но не намного больше.
Например, если надо извлечь из А=123456, можно взять 400 - знаков вдвое меньше, первая цифра 4 в начале - что-то около корня из 12. Если лень - можно взять просто r0=A.

А теперь посмотрим на число A/r0: если у нас r0 < r, то A/r0 > r, и наоборот, если у нас r0 > r, то A/r0 < r.
Значит неизвестный нам точный корень r лежит где-то между r0 и A/r0. Давайте возьмем в качестве нового приближения середину этого отрезка, то есть r1=(r0 + A/r0) / 2. Потом так же получим следующее приближение итд.

Такой метод удваивает число точных знаков на каждом шаге, так что долго считать не придется.

Например:
400.00000000000000
354.32000000000000
351.37539850982200
351.36306031259300
351.36306009596400
351.36306009596400
- все сошлось на 15 знаков точности

Держи ликбез https://www.youtube.com/watch?v=bZF_-QsD02g

старый способ извлечения корня столбиком http://hijos.ru/2010/12/22/izvlechenie-kvadratnogo-kornya-v-stolbik/

Да, опять же графически - строишь квадрат, измеряешь сторону и площадь...

через логарифмы попробуйте, если таблицы логарифмов под рукой.

Приближённо если - "канадский" метод, напр.
А так вот ещё варианты https://nsportal.ru/sites/default/files/2017/02/19/nauchnaya_rabota_0.docx