В каких случаях можно починить материнскую плату, имея на руках обычный паяльник...

Наши ребята на Луне чинили спускаемый аппарат с помощью ЛОМА, КУВАЛДЫ и какой-то МАТЕРИ...
Все в наших силах!..

Если есть руки, то любые, кроме микросхем в BGA корпусах.

Конденсаторы электролитические.

Ещё можно, не без геморроя, конечно, заменить развороченные USB-гнёзда, Ethernet гнездо (сетевуха), 20/24-pin разъём питания платы (сам делал), 4/8-pin разъём питания процессора, гнёзда PS/2, гнёзда minilack (звук). Но это потренироваться надо на дохлых платах.

Ещё можно впаять "пищалку" POST-кодов, часто на платах её нет, но место предусмотрено

Микрухи не поменяешь. Самому можно поменять (если жало тонюсенькое и руки правильно "заточены") только кондёры, резисторы.

Паяльник нужен мощный, и еще целый список разной мелочевки.
Тогда это круглые конденсаторы (включая SMD) и разъемы с 2-4 ножками. В основном разъемы питания.
С некоторым геморроем - разъем USB, наушников, mini PCI-E, дисковода. Особенно сложно чистить отверстия от припоя.
А более многоногие детали это уже полный геморрой, для упрощения приходится повреждать отпаиваемую деталь, это неудобно и рискованно для платы.

Электролитические конденсаторы (бочечки такие черного или синего цвета), дроссели, трансформаторы и отдельные транзисторы в корпусах, если таковые есть. При наличии специальных насадок на паяльник можно даже выпаивать чипы и разъемы. Но здесь главное - не повредить переходную металлизацию сквозных посадочных отверстий. И почти совсем ничего нельзя сделать, если платы многослойные

В том случае если есть навыки и умение. Современные вряд ли уже ремонтируют, даже раньше обычно только конденсаторы меняли.

если только конденсаторы перепаять