В каком случае в нулевом проводе появляется ток ?

в теории - это надо рассматривать в категории "Образование".

в реальности
ток в [исправном] нулевом проводе
(недаром он является рабочим, токоведущим)
появляется в любом случае,
как только подключена нагрузка, использующая его.

это ток, обусловленный несимметрией напряжения, нагрузки по фазам (в т. ч. неполнофазной, однофазной);
ток, вызванный нелинейными нагрузками;
ток высших гармонических составляющих, с порядком кратным 3.
и конечно при I0 ≠ 0 будет U0 ≠ 0, следовательно появится ток утечки через изоляцию.

кроме нулевого рабочего существует нулевой защитный проводник.
ток в нём будет при аварийных режимах (замыкание фазы на токопроводящий корпус).

1. Несимметричная нагрузка.
2. Наличие в фазных токах гармоник, кратных трем.

Вопрос неполный.

если это однофазная сеть (2 провода), то наличие тока в фазном проводе означает появление такого же тока и в нулевом прводе.

В трёхфазных системах — несимметричная нагрузка. В однофазных — при любой.

После того как ток прошёл потребителя... если вы разъедените нулевой провод, то при включённом потребителе, на нулевом проводе со стороны потребителя, будет фазовое напряжение...

Может речь идёт о случаях возникновения потенциала напряжения на ноле относительно земли?
При однофазной сети, нулевой провод является сопротивлением в цепи нагрузки, образованного делителя напряжения, при подключении к конечной точке потребления электроэнергии, считая от подстанции: фаза/нагрузка/ноль. Поэтому, вследствие падения напряжения на нуле, в точке нагрузка/ноль, возникает относительно земли потенциал напряжения. Между фазой и землёй напряжение будет равно значению: фаза/ноль + ноль/земля, но зависит это значение ещё так же от сопротивления самого заземления.
В трёхфазных же сетях, напряжение на нуле зависит от фазового перекоса, когда нагрузки на фазах распределены неравномерно и может достигать значения 30в.
Если же речь идёт о возникновении тока в ноле трёхфазной сети, то причиной этого является фазовый перекос.