(Электромагнит) Так все-таки напряжение или ток?

Про сопротивление не забывай.

Ориентируются по удобному питанию

сила эл. магнита зависит от ампер - витков. Витки дают больше силы, чем амперы. Чтобы было больше витков, используют более тонкий провод.

"Сила магнита" зависит от ампер-витков. Ток умножить на количество витков. Оказывается, что витки наматывать выгоднее. С учетом еще того, что вся энергия, которую потребляет электромагнит, уходит только в нагрев.

В лабораторной работе рисуют графики зависимости: силы и мощности от тока и от витков... Таким образом подбирают оптимальное кол-во ампер-витков при том или ином напряжении для каждого случая отдельно, по специальной методике расчётов. См. методику. А сечение выбирают в последнюю очередь, по допускаемому нагреву! ОТВЕТ: И НАПРЯЖЕНИЕ И ТОК! (Издай хоть звук! Куда пропал?).

Тонким мотают просто для удобства сопряжения с имеющимися сетями высокого напряжения. Допустим, у вас дома в розетке 220 вольт, а в автомобиле -- 12 вольт. Тогда для дома провод обмотки электромагнита будет тоньше, но иметь больше витков, а для авто такая же обмотка будет толще, ток будет больше, а витков меньше.

То есть это вопрос инженерного компромисса -- как сделать изделие дешевле и удобнее. Ну и на моточном станке намотать 5000 витков не так уж и долго, я мотал в детстве.

Зависит от источника питания, и того, какую мощность он может выдать. Всегда есть ограничения. Толстый провод неудобно мотать, кабель для большого тока, не может быть гибким, выбирают золотую середину.

Мотают тонкий по тому что если он будет толщеной в палец то там тысячи ампер надо а их проблематично где то взять и провада к такому магниту надо офигенно большого сечения.

Облегчи себе жизнь - воспользуйся лентой.