Почему возникает индукционный ток?

Изменения магнитного поля порождет электрическое и наоборот. Что делает электрическое поле с электронами в проводе катушки? Ну и вот.

Любой электрический заряд в мире создает вокруг себя электрическое поле. Любой - будь то один электрон или протон, или "недоломанный" атом (ион), будь то даже целый большой предмет, наэлектризованный статикой.
А электромагнитное (оно же - магнитное) поле - это то же электрическое, но в движении. Если заряд просто висит или лежит перед тобой, ты воспринимаешь (приборами, конечно) его электрическое поле, можешь играться с притяжением-отталкиванием и т. п. А если этот заряд ДВИЖЕТСЯ мимо тебя (или ты мимо него, безразлично) - тогда это поле воспринимается тобой как магнитное. Это просто взгляд с другой точки зрения.
Короче говоря, при движении заряда появляются магнитные свойства.
Аналогично же и наоборот - при появлении магнитных свойств появляется движение заряда.
То есть, вся фишка именно в ДВИЖЕНИИ, или более обобщенно - любом ИЗМЕНЕНИИ условий.
Ты можешь толкать и двигать что-то заряженное - и получить магнитное поле. А можешь наоборот - врубить какое-нибудь магнитное поле, и заряд начнет двигаться. И не только "врубить", но и наоборот "вырубить". Или усилить, ослабить, повернуть, деформировать - ЛЮБЫЕ изменения магнитного поля заставят заряд двигаться. И ЛЮБЫЕ движения заряда - породят магнитное поле. Это по сути одно и то же явление, только с разных сторон :-)

один из случаев ОБРАТИМЫХ процессов. недаром же Максвелл жил...
дополню: немного не так, ни вставили и появился, а пока вставляем идёт появление

dF/dt вызывает ток, а почему? Такова природа, "почему" можно задавать бесконечно.
Есть, однако, одно счастливое обстоятельство: каковы бы ни были наши мнения, им не изменить и не расстроить законов природы. Фарадей