Как преобразовать звук музыкального инструмента в цифровой сигнал? Например пианино? Микрофон ставят или как? Все этапы.

Звук (колебания давления воздуха) микрофон преобразует в электрический сигнал -- напряжение является электрической копией исходного колебания. Затем этот сигнал на звуковой карте усиливается операционными усилителями (микросхемы такие) и подаётся на аналого-цифровой преобразователь (АЦП, тоже микросхема), где преобразуется в цифровой вид, то есть в числа. Числа эти поступают с частотой дискретизации, а их значения -- напряжение того самого звукового сигнала.
По этим числам можно построить график сигнала (возьмите программу Audacity и загрузите в неё звуковой файл, а затем увеличьте -- и увидите график).
Далее эти числа можно положить в файл, передать по сети или загнать в цифроаналоговый преобразователь (ЦАП, тоже микросхема, иногда совмещена с АЦП), откуда получить электрический сигнал обратно, усилить и подать в акустические системы. Там динамики (микрофоны наоборот) создадут из электрических колебаний обратно звук (колебания давления воздуха).

Сначала Жан-Бати́ст Жозе́ф Фурье пытался решить краевую задачу для одномерного волнового уравнения методом разделения переменных, который он сам и разработал. Метод заключается в поиске такого решения дифференциального уравнения гиперболического типа, которое может быть представлено в виде множителей, каждый из которых является функцией одной переменной....
Садись поудобнее, этапов много, мы пока ещё про события 18-го века говорим...

Если по простому: пианино создает звуковые колебания в воздухе, микрофон преобразует эти звуковые волны в аналоговый сигнал, далее микрофон подключается к аудиоинтерфейсу (звуковой карте), где АЦП преобразует аналоговый сигнал в цифровой, ПО (DAW итп) на ПК записывает этот цифровой сигнал и сохраняете в файл.
Файл с записанной фонограммой воспроизводится через ПО на ПК (плеере) или в другом устройстве, где ЦАП преобразует цифровой сигнал в аналоговый, далее аналоговый сигнал поступает на динамики в колонках или наушниках, где динамик преобразует аналоговый сигнал в звуковые волны и вы их слышите.

микрофон ставят, иногда и не один, с него звук и записывают

тебе интересно, или надо просто записать?

"преобразователь, который смешивает сигналы и анализирует их" есть в любом компьютере и даже телефоне это звуковая карта или аудиокодек. Комплекс ЦАП и АЦП с разными фильтрами, которые преобразуют аналоговый сигнал в цифровой и обратно.