Нужно ли разрешение

Вы не совсем правильно поняли то, какое именно разрешение вам нужно.. . вероятно вам нужно было разрешение на въезд в погранзону
Ряд районов Сахалина являются ПОГРАНИЧНОЙ ЗОНОЙ, поэтому беспрепятственно туда въезжать могут только жители Сахалинской области.. . Южно-Сахалинск ранее также был погранзоной, но исключён из неё 3 года назад.. .
..для жителей других регионов нужно оформлять разрешение НА ВЪЕЗД В ПОГРАНЗОНУ в управлении погранслужбы

.. за нарушение правил пребывания в погранзоне предусмотрен штраф

Разрешение необходимо только за границу. Для поездок по России несовершеннолетним разрешений не требуется.

Учтите только, что часть Сахалинской области - пограничная зона и разрешение туда требуется всем
Приказ ФСБ РФ от 14 апреля 2006 г. N 149 "О пределах пограничной зоны на территории Сахалинской области"
1. Пограничную зону на территории Сахалинской области, прилегающей к морскому побережью Российской Федерации, установить в пределах:
1.1. В муниципальных образованиях "Александровск-Сахалинский район", "Анивский район", "Долинский район", "Корсаковский район", "Макаровский район", "Невельский район", "Ногликский район", "Охинский район", "Поронайский район", "Смирныховский район", "Углегорский район", "Холмский район", "Вахрушев" - полосы местности шириной пять километров вдоль морского побережья Российской Федерации;
территории муниципальных образований "Курильский район", "Северо-Курильский район", "Южно-Курильский район".
1.2. Островов, находящихся во внутренних морских водах Российской Федерации и входящих в состав территории муниципальных образований.
2. Исключить из пограничной зоны территорию муниципального образования "Город Южно-Сахалинск".

зачем какое то разрешение? впервый раз слышу.

Какое заявление? у нас свободная страна! Куда хочешь - туда и едь.