По поводу шенгена

Справку такую Вам хоть на следующий день дадут после поступления на работу. Но есть нюансы.
Во-первых, многие консульства требуют, чтобы в справке этой, кроме указания з/п и должности, указывалась так же дата поступления на работу и то, что на время Вашей поездки Вам предоставляется оплачиваемый отпуск.

Во-вторых, выборочно информацию, указанную в справке, консульства проверяют. Причём, проверка эта давно уже делается не только и не столько путём звонка на работу, сколько запросом в ПФ РФ, а туда инфа о Вас от работодателя попадет далеко не сразу, а в течении месяца.
В-третьих, некоторые консульства требуют некий минимальный срок работы на последнем месте, иначе справка к рассмотрению не принимается.

Так что если работаете меньше месяца на данном месте, то лучше подстраховаться, и вместе со справкой (или вместо неё) предоставить выписку с банковского счёта или письмо спонсора.

в среднем не менее полугода-большинство консульств. Если Ваш регион попадает в зону облегченного режим получения каких-то виз, то справку не требуют

Чем больше стаж работы и стабильная зарплата тем меньше вероятность в отказе визы, а справку вам дадут независимо от того сколько вы отработали

1 день и более.

Не важно. Там справка о доходах. Кстати если вы нигде не работаете то эту справку можно заменить: спонсорским письмом или справкой из деканата