Нужно ли заверенное нотариально согласие отца ребёнка на перевоз его через границу? Пояснение ниже.

Нет не нужно, поскольку ребенок едет с мамой

1. Таможня к этому не имеет ни малейшего отношения. Вопросами паспортного контроля при пересечении границы занимается Погранслужба ФСБ РФ.
2. Поскольку поезд всего лишь следует по территории Казахстана, никакого согласия не требуется.

Вы же все правильно пишите и понимаете. Решили спросить, чтобы получить бредовый ответ, какой дал DOG?

Согласно существующим правилам при следовании несовершеннолетнего гражданина РФ через государственную границу совместно с одним из родителей, согласие второго не требуется, если от него в пограничные органы не поступало заявление о своем несогласии на выезд из Российской Федерации своих детей.
Документы, необходимые для провоза детей по России и за границу

Поездка несовершеннолетних детей по России осуществляется только при наличии ПОДЛИННИКА СВИДЕТЕЛЬСТВА О РОЖДЕНИИ.
При пересечении государственной границы несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, следующий совместно хотя бы с одним из родителей, может выезжать из Российской Федерации по СВОЕМУ ЗАГРАНИЧНОМУ ПАСПОРТУ или будучи ВПИСАННЫМ В ЗАГРАНПАСПОРТ РОДИТЕЛЯ, при этом для детей в возрасте с 7 лет обязательна ФОТОКАРТОЧКА РЕБЕНКА.
В государства, с которыми Российская Федерация имеет межправительственные соглашения о безвизовых поездках (УКРАИНА, КАЗАХСТАН, ТАДЖИКИСТАН, КЫРГЫЗСТАН), дети ДО 14 ЛЕТ могут выезжать по СВИДЕТЕЛЬСТВУ О РОЖДЕНИИ, при этом ОБЯЗАТЕЛЬНО НАЛИЧИЕ ВКЛАДЫША, ПОДТВЕРЖДАЮЩЕГО РОССИЙСКОЕ ГРАЖДАНСТВО.
Дети СТАРШЕ 14 ЛЕТ могут выезжать по ПАСПОРТУ ГРАЖДАНИНА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.
Проезд детей (граждан РФ) в Таджикистан транзитом через территорию Туркменистана осуществляется по загранпаспортам с транзитной визой республики Туркменистана.
При следовании несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации через государственную границу совместно с одним из родителей, согласие второго не требуется, если от него в пограничные органы не поступало заявление о своем несогласии на выезд из Российской Федерации своих детей.
Если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения родителей, усыновителей, опекунов или попечителей, он должен иметь при себе КРОМЕ ПАСПОРТА (если иное не предусмотрено международным договором) нотариально оформленное СОГЛАСИЕ РОДИТЕЛЕЙ, ОПЕКУНОВ ИЛИ ПОПЕЧИТЕЛЕЙ НА ВЫЕЗД несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить. При этом достаточно согласия одного из родителей, если от второго не поступало заявления о несогласии на выезд детей.
Детям, находящимся на полном государственном обеспечении в воспитательных учреждениях, учреждениях социальной защиты населения и других аналогичных учреждениях, опекуны (попечители) не назначаются. Выполнение их обязанностей возлагается на администрацию этих учреждений. При выезде групп таких детей за границу, кроме документов, удостоверяющих личность, предусмотренных соответствющими Соглашениями, необходимо нотариально заверенное согласие от администрации детского учреждения на имя ответственного лица (старшего группы). Такие согласия могут выдаваться на каждого ребенка отдельно или с приложением списка выезжающих детей, подписанного должностным лицом администрации детского учреждения.
Если пассажиры не являются родителями, то необходимо наличие доверенности на вывоз детей, заверенной нотариально.
ПРИ ОТСТУТСТВИИ ДОКУМЕНТОВ, ДАЮЩИХ ПРАВО НА ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАНИЦЫ, ПАССАЖИР НЕ ДОПУСКАЕТСЯ НА ТЕРРИТОРИЮ СОПРЕДЕЛЬНЫХ ГОСУДАРСТВ И ВЫСАЖИВАЕТСЯ ИЗ ПОЕЗДА.