ВУЗы и колледжи
Дифуры
Решить дифференциальное уравнение: y"+4*y=2cos(2x)+4 Обычно решение ищется в виде y(x)=C0+C1x+C2x^2+C3x^3....А как с косинусом, убейте не помню(((( Подскажите пожалуйста!
Да ничего подобного!! !
Так линейные уравнения с постоянными коэффициентами не решаются! Даже сразу видно почему. При дифференцировании степенной функции - степень сокращается.
Значит член со старшей степенью всегда будет нечем уравнивать. (В y'' понизится на 2, в 4 - вообще не будет, а в у - останется как был) .
Решается это по-другому. Для линейного уравнения записывается характеристическое уравнение. В данном случае
L^2 + 4 = 0
У него находятся корни и по ним пишется решение - сумма функций exp[Li*x] с произвольными коэффициентами. ("Е в степени L итое * икс) .
Если кратные корни - то C1* exp[L1*x] + C2*x*exp[L1*x] + .-смотря какая степень кратности.
Если есть мнимые корни - то либо можно их формально так и записать через экспоненты и так и оставить или через уравнение эйлера преобразовать в пару sin и cos, либо сразу sin и cos и писать.
Вот эта сумма с произвольными коэффициентами - будет общим решением однородного уравнения. Без правой части.
Далее надо искать частные решения.
Своё для каждого члена в правой части.
Если там многочлен (в данном случае - 4 - частный случай) - то для этого действительно надо искать ЧАСТНОЕ решение в виде y(x)=C0+C1x+C2x^2+C3x^3
Если sin / cos / exp - то в виде того же с каким-то коэффициентом.
И опять - если что-то в правой части совпадает с одним из членов в общем однородном решении - резонансный случай.
И опять частное решение надо будет искать не в виде A*cos(2x) + B*sin(2x), а в виде
x*(A*cos(2x) + B*sin(2x)). Причём в зависимости от кратности этого корня в характеристическом уравнении - умножить на х в соотв. степени.
http://256bit.ru/mat/blok/pr14a.htm - вот тут это же самое выписано формально и в общем виде.
>^.^<
Так линейные уравнения с постоянными коэффициентами не решаются! Даже сразу видно почему. При дифференцировании степенной функции - степень сокращается.
Значит член со старшей степенью всегда будет нечем уравнивать. (В y'' понизится на 2, в 4 - вообще не будет, а в у - останется как был) .
Решается это по-другому. Для линейного уравнения записывается характеристическое уравнение. В данном случае
L^2 + 4 = 0
У него находятся корни и по ним пишется решение - сумма функций exp[Li*x] с произвольными коэффициентами. ("Е в степени L итое * икс) .
Если кратные корни - то C1* exp[L1*x] + C2*x*exp[L1*x] + .-смотря какая степень кратности.
Если есть мнимые корни - то либо можно их формально так и записать через экспоненты и так и оставить или через уравнение эйлера преобразовать в пару sin и cos, либо сразу sin и cos и писать.
Вот эта сумма с произвольными коэффициентами - будет общим решением однородного уравнения. Без правой части.
Далее надо искать частные решения.
Своё для каждого члена в правой части.
Если там многочлен (в данном случае - 4 - частный случай) - то для этого действительно надо искать ЧАСТНОЕ решение в виде y(x)=C0+C1x+C2x^2+C3x^3
Если sin / cos / exp - то в виде того же с каким-то коэффициентом.
И опять - если что-то в правой части совпадает с одним из членов в общем однородном решении - резонансный случай.
И опять частное решение надо будет искать не в виде A*cos(2x) + B*sin(2x), а в виде
x*(A*cos(2x) + B*sin(2x)). Причём в зависимости от кратности этого корня в характеристическом уравнении - умножить на х в соотв. степени.
http://256bit.ru/mat/blok/pr14a.htm - вот тут это же самое выписано формально и в общем виде.
>^.^<
