Снова я ...И снова дифур ... Спасибо еще раз всем кто помог с прошлыми примерами

y'' + 8y' + 16y = 16x^2 - 16x + 66
Общее решение = решение однородного + любое частное решение.
-----------------------------------------------------------
1) Ищем частное решение в виде:
Yч (x) = Ax^2 + Bx + C
Подставляем в уравнение:
(Ax^2 + Bx + C)'' + 8(Ax^2 + Bx + C)' + 16(Ax^2 + Bx + C) = 16x^2 - 16x + 66
(2A) + 8(2Ax + B) + 16(Ax^2 + Bx + C) = 16x^2 - 16x + 66
Группируем слагаемые по степеням x:
16Ax^2 + 16(A+B)x + 2(A+4B+8C) = 16x^2 - 16x + 66
Приравниваем соответствующие коэффициенты.
При x^2:
16A = 16
A = 1
При x:
16(A+B) = -16
A+B = -1
1+B = -1
B = -2
При x^0:
2(A+4B+8C) = 66
A + 4B + 8C = 33
1 - 8 + 8C = 33
C = 5
Получаем частое решение:
Yч (x) = x^2 - 2x + 5
-----------------------------------------------------------
2) Найдем общее решение однородного уравнения:
y'' + 8y' + 16y = 0
Общее решение однородного уравнения = C1 y1(x) + С2 y2(x)
где C1, C2 - произвольные константы, y1, y2 - любые независимые решения
Будем искать решение в виде: y = exp(kx)
exp(kx)'' + 8 exp(kx)' + 16 exp(kx) = 0
(k^2 + 8 k + 16) exp(kx) = 0
( exp(kx) не равно 0, разделим на exp(kx) )
k^2 + 8 k + 16 = 0
(k + 4)^2 = 0
k = -4
Нашли одно решение однородного уравнения: y1(x) = exp(-4x)
Второе решение будем искать в виде:
y2(x) = A(x)y1(x)
Подставим в однородное уравнение:
[A(x)y1(x)]'' + 8[A(x)y1(x)]' + 16A(x)y1(x) = 0
A(x)''y1(x) + 2A(x)'y1(x)' + A(x)y1(x)'' + 8A(x)'y1(x) + 8A(x)y1(x)' + 16A(x)y1(x) = 0
y1(x)A(x)'' + 2[y1(x)'+4y1(x)]A(x)' + [y1(x)'' + 8 y1(x)' + 16y1(x)]A(x) = 0
Видим, что:
y1(x)'+4y1(x) = 0
y1(x)'' + 8 y1(x)' + 16y1(x) = 0
Тогда для A(x) получаем уравнение:
A(x)'' = 0
A(x) = Cx + D
То есть второе решение однородного уравнения:
y2(x) = (Cx + D) exp(-4x)
Тогда общее решение однородного уравнения:
Yo(x) = A exp(-4x) + B x exp(-4x)
-----------------------------------------------------------
3) Общее решение уравнения:
Y(x) = A exp(-4x) + B x exp(-4x) + x^2 - 2x + 5
Учтем начальные условия:
Y(0) = A + 5 = 0
Y(0)' = -4A + B - 2 = 0
A = -5
B = -18
Тогда решение задачи Коши:
Y(x) = x^2 - 2x + 5 - (5 + 18x) exp(-4x)