Производственная функция Кобба-Дугласа.

Для обычной линейной регрессии делается лог-линейное преобразование используя свойства логарифма:
A=B → Log[А] =Log[В]
Log[А•B]=Log[A]+Log[В]
Log[А^B]=B•Log[A]

Y=A•K^α•L^β
Ln[Y] = Ln[A•K^α•L^β]
Ln[Y] = Ln[A]+Ln[K^α]+Ln[L^β]
Ln[Y] = Ln[A] + α•Ln[K]+β•Ln[L]

Отсюдa изменяя исходные данные получаем таблицу:
_ Y" __ , __ K" __ , _ L" __
4.6052 .. 4.6052 .. 4.6052
4.7707 .. 4.7274 .. 4.7536
4.8203 .. 4.8903 .. 4.8122
4.9628 .. 5.0039 .. 4.8363
5.0626 .. 5.1533 .. 4.9273
5.0434 .. 5.2883 .. 5.0752
5.0304 .. 5.3753 .. 5.1059
5.2364 .. 5.4638 .. 5.0370
5.2417 .. 5.5722 .. 5.1240
5.4250 .. 5.8141 .. 5.2781

И к ней применяем обычную линейную множественную регрессию
Y"=a+b•K"+c•L"+u
Y"≈3.01317+0.895399•K"-0.532722•L"

Выполняя обратное преобразование получаем искомую функцию:
Y≈A•K^α•L^β
Y≈20.3519•(K^0.895399)/(L^0.532722)

Но при прямых лог-линейных преобразованиях нарушается условие о равенстве нулю остатков, поэтому через нелинейную регрессию (интерляциями) получается другое уравнение производственной функции Коба-Дугласа:
Y≈31.3837043•(K^0.9796448)/(L^0.7081064)

Параметры обеих регрессий на рисунке:


Проверка равенства нулю математического ожидания ошибки:





Выборка слишком маленькая. .
Проверка качеста модели тоже выше .. хотя по ширине доверительных интервалов параметров регрессий сразу видно косяки, ..несоответствия с теорией .. или по виду полученной функции реально получается что чем больше задействованно труда - тем меньше выпускается продукта .. что естественно не очень логично .. за исключением некоторых отдельных/редких случаев. .

К тому-же в расчёте этой модели мы предположили что коэффициенты величина постоянная во времени, что естественно тоже неверно (из-за технологического развития, структурных, качественных и прочих изменений/развития/роста/прогресса..)