Исследовать свойства функции и построить график.
y(x)=x^4 - 2x^2 + 3 (добавил фото, вдруг неправильно написал)
1)область определения функции
2)точки разрыва функции и промежутки непрерывности
3)промежутки знакопостоянства функции
4)четность, нечетность и периодичность
5)точки пересечения графика с осями координат
6)критические точки функции, точки экстремума, промежутки монотонности
7)промежутки выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба
8)асимптоты графика функции
9)дополнительные точки (если это необходимо)
10)строим график функции
Буду благодарен, если потратите время на выполнение этого задания!
1 и 2. Определена и непрерывна на всей числовой оси.
3. y(x)=(x^2-1)^2+2 (можете раскрыть скобки и проверить). Очевидно, положительна на всей числовой оси.
4. y(-x)=y(x). И вообще, это многочлен с чётными степенями. Чётная, непериодическая.
5. Поскольку (3), то пересекает только ось ординат в точке (0; 3)
6. Из вида, указанного мной в (3), легко догадаться, что -1; 0; 1 - экстремумы.
Но если делать в лоб:
y'=4x^3-4x.
y'=0
Корни -1; 0; 1.
y''=12x^2-4. В 0 - отрицательна, в +/-1 - положительна. Значит 0 - максимум (y=3), +-1 - минимумы (y=2).
7. y''=12x^2-4=0. x=+-1/корень (3).
"Внутри" отрезка (-1/корень (3); 1/корень (3)) - выпукла вверх, "снаружи" - выпукла вниз (вогнута?).
8. Пожалуй, что асимптот нет. Вид функции их не требует. Можно назвать последовательно x^4 и, например x^4-2x^2, или (x^2-1)^2, но это просто запись самой функции без части слагаемых.
9. -
10. Берёте MS Excel и строите.
"Это второй курс". За исключением (8), это 11-й класс.
Ответ. x^4 - 2x^2 + 3=(x^2-3)*(x^2+1)=0; x1=3^0,5; x2=-3^0,5; dy(x)/dx=3*x^3-4*x; 3*x^3-4*x=0; x11=0; x12=(4/3)^0,5; x13=-(4/3)^0,5; d2y(x)/dx^2=9*x^2-4; y2(x)=9*x^2-4; y2(0)=-4 (max); y2((4/3)^0,5)=8 (min);y2(-(4/3)^0,5)=8 (min);
№ 297(б). Исследуйте функцию y = x4 – 2x2 – 3 и постройте ее график.
Комментарий к решению. Проведем исследование по указанной в учебнике схеме.
1. D(f) = R, так как f — многочлен.
2. f(x) = f(–x), следовательно, функция четная.
3. Точки пересечения графика с осями координат: и (0; –3).
4. f'(x) = 4x3 – 4x. Критических точек, в которых производная не существует, нет. Производная равна нулю при значениях аргумента, равных –1, 0 и 1.
5. В точках с абсциссами равными –1, 0 и 1, функция принимает значения равные –4, –3 и –4 (далее учащиеся оформляют проведенное исследование в виде таблицы, дополняя его определением знака производной в рассматриваемых промежутках).
График функции y = x4 – 2x2 – 3 должен иметь вид, соответствующий изображению на экране калькулятора:
----------------
Может чем-нибудь помог)
. Исследуйте функцию y = x4 – 2x2 – 3 и постройте ее график.
Комментарий к решению. Проведем исследование по указанной в учебнике схеме.
1. D(f) = R, так как f — многочлен.
2. f(x) = f(–x), следовательно, функция четная.
3. Точки пересечения графика с осями координат: и (0; –3).
4. f'(x) = 4x3 – 4x. Критических точек, в которых производная не существует, нет. Производная равна нулю при значениях аргумента, равных –1, 0 и 1.
5. В точках с абсциссами равными –1, 0 и 1, функция принимает значения равные –4, –3 и –4 (далее учащиеся оформляют проведенное исследование в виде таблицы, дополняя его определением знака производной в рассматриваемых промежутках).
График функции y = x4 – 2x2 – 3 должен иметь вид, соответствующий изображению на экране калькулятора:
----------------
Может чем-нибудь помог)
1. D(f) = R, так как f — многочлен.
2. f(x) = f(–x), следовательно, функция четная.
3. Точки пересечения графика с осями координат: и (0; –3).
4. f'(x) = 4x3 – 4x. Критических точек, в которых производная не существует, нет. Производная равна нулю при значениях аргумента, равных –1, 0 и 1.
5. В точках с абсциссами равными –1, 0 и 1, функция принимает значения равные –4, –3 и –4 (далее учащиеся оформляют проведенное исследование в виде таблицы, дополняя его определением знака производной в рассматриваемых промежутках).
График функции y = x4 – 2x2 – 3 должен иметь вид, соответствующий изображению на экране калькулятора:
----------------
Может чем-нибудь помог)
