X(x+4)y''-(2x+4)y'+2y=0 Помогите решить дифференциальное уравнение

JND.

x (x + 4) y'' - 2 (x + 2) y' + 2 y = 0
1) Сначала применим метод пристального всматривания: на роль решения хорошо подходит полином. Поэтому попробуем подобрать решение в виде полинома.
попробуем полином нулевой степени:
y = c
Подставляем y в уравнение, получаем:
c = 0
То есть получаем y = 0, это нам не подходит.
Примерим полином первой степени:
y = x + c
Подставляем y в уравнение, получаем:
- 2 (x + 2) + 2 (x + c) = 0
или:
c = 2
Получили частное решение уравнения:
y = x + 2
2) Пользуемся линейностью уравнения и известным частным решением, чтобы понизить порядок уравнения. Ищем решение в виде:
y = (x + 2) z
Подставляем в уравнение:
x (x + 4) [(x + 2) z]'' - 2 (x + 2) [(x + 2) z]' + 2 (x + 2) z = 0
Раскрываем все производные, приводим подобные, получаем уравнение для z:
x (x + 2) (x + 4) z'' - 8 z' = 0
Обозначим:
z' = w
Тогда уравнение примет вид:
x (x + 2) (x + 4) w' - 8 w= 0
Получили уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
3) Дальше никаких "идей" не нужно, остается дело техники.
Решаем уравнение для w. Разделяем переменные:
dw / w = 8 dx / [x (x + 2) (x + 4)]
Интегрируем:
ln|w| = A + ln(|x (x + 4) / (x + 2)|)
Выражаем w:
w = 2 B x (x + 4) / (x + 2)
Возвращаемся к z:
z' = 2 B x (x + 4) / (x + 2)
Интегриуем:
z = C + B ((x + 2)² - 8 ln|x + 2|)
Возвращаемся к y:
y = C (x + 2) + B ((x + 2)² - 8 ln|x + 2|) (x + 2)
Только проверяйте, мож я где сжульничал)