помогите решить Дифференциальные уравнения)'

1)
tg(x) dy/dx = y - 2
Переменные разделяются:
dy/(y-2) = dx/tg(x)
Интегрируем:
ln|y-2| = Const + ln|sin(x)|
y-2 = C sin(x)
y = C sin(x) + 2 (общее решение)
Учтем начальное условие:
y(п/3) = C sqrt(3)/2 + 2 = 3
C = 2/sqrt(3)
Тогда требуемое частное решение:
y(x) = 2 ( 1 + sin(x)/sqrt(3) )
И ответ на вопрос задачи:
y(п/2) = 2 ( 1 + 1/sqrt(3) )
2)
Однородное уравнение Риккати.
dy/dx = 4 + (y/x) + (y/x)^2
Можно решать как любое уравнение Риккати, можно воспользоваться однородностью.
Воспользуемся однородностью. Будем искать решение в виде:
y = x z
тогда производная:
dy/dx = z + x dz/dx
Подставляем в уравнение:
z + x dz/dx = 4 + z + z^2
x dz/dx = 4 + z^2
dz/(z^2 + 4) = dx/x
Интегрируем:
(1/2) arctg(z/2) = ln(|x|) + C
arctg(z/2) = 2 ln(|x|) + C
Возвращаемся к y:
z = y/x
arctg( y/(2x) ) = 2 ln(|x|) + C
3) А тут даже не надо решать до конца.
Ищем решение в виде:
x(t) = A exp(kt)
y(t) = B exp(kt)
Подставляем в систему:
k A exp(kt) = (A - 2B) exp(kt)
k B exp(kt) = (2A - 3B) exp(kt)
exp(kt) не равно 0, тогда остается:
(1-k) A - 2 B = 0
2 A - (3 + k) B = 0
Из первого уравнения:
B = (1-k) A / 2
Подставляем во второе:
2 A - (3+k) (1-k) A / 2 = 0
4 - (3+k)( 1-k) = 0
k^2 + 2k + 1 = 0
(k+1)^2 = 0
k+1 = 0
k = -1
То есть содержат экспоненты вида: exp(-t).
Это только в первом варианте ответа)