Помогите решить дифференциальные уравнения

Оба уравнения можно представить в виде:
P dx + Q dy = 0
Левая часть похожа на полный дифференциал какой-то функции:
dU = Ux dx + Uy dy
Тогда из сравнения равенств видно:
P = Ux, Q = Uy
Если предположить, что это так, то уравнение примет вид:
dU = 0
И интеграл уравнения:
U = Const
Осталось найти такую функцию U(x,y).
Если P = Ux, Q = Uy, то должно быть:
Uxy = Uyx, т. е. Py = Qx. Тогда такая функция U существует.
1)
Для первого вашего уравнения это условие выполняется:
Py = Qx
d(2xy)/dy = d[(x^2) - e^y]/dx
2x = 2x
Тогда записываем систему:
Ux = 2xy
Uy = x^2 - e^y
Интегрируем по x первое равенство:
U = y x^2 + f(y)
(с точки зрения интегрирования по x, константа интегрирования -- произвольная функция от y)
Теперь подставляем U в таком виде во второе уравнение:
x^2 + df/dy = x^2 - e^y
сокращаем:
df/dy = - e^y
интегрируем:
df = - e^y dy
f = - e^y + C
Тогда искомая функция:
U = y x^2 - e^y + C
И общий интеграл уравнения:
y x^2 - e^y = Const
2)
Для второго вашего уравнения:
dx - (x + sin(y)) dy = 0
условие:
Py = Qx
не выполняется, значит не существует такой функции U.
Умножим уравнение на m = m(x,y):
m dx - m (x + sin(y)) dy = 0
и потребуем выполнения условия:
Py = Qx
получим:
d(m)/dy = - d[ m (x + sin(y)) ]/dx
или:
(dm/dy) + (x + sin(y)) (dm/dx) + m = 0
Попробуем искать m как функцию только от y (т. е. независящий о x), тогда:
dm/dx = 0
(dm/dy) + m = 0
разделяем переменные:
dm/m = - dy
интегрируем:
ln(m) = C - y
выражаем m:
m = A e^(-y)
Положим A=1:
m = e^(-y), и вместо исходного уравнения:
dx - (x + sin(y)) dy = 0
рассматриваем уравнение:
e^(-y) dx - (x + sin(y)) e^(-y) dy = 0
Для него это условие уже выполняется, и можно его решить в точности тем же алгоритмом, что и первое.
Удачи)