Решит дифференциальное уравнение

y'' -4*y' +5*y = (16-2x)*e^(-x) + x^2
Сначала решаем однородное
y'' -4*y' +5*y = 0
Решения ищем в виде y = e^(kx), возникает характеристическое уравнение:
k^2 - 4k + 5 = 0
=> (k-2)^2 = -1 => k1 = 2-i, k2 = 2+i - корни
=> yoo = e^(2x)*(C1*sin(x) + C2*cos(x)) - общее решение однородного.
Частное решение неоднородного ищем в виде:
yчн = yчн1 + yчн2,
где yчн1 = (Ax+B)*e^(-x) для ДУ
y'' -4*y' +5*y = (16-2x)*e^(-x).
yчн1' = (A - Ax - B)*e^(x)
yчн1'' = (-2A + Ax + B)
=> (A + 4A + 5A+2)*x + (-2A+B -4A + 4B + 5B - 16) = 0
=> 10A + 2 = 0 => A = -1/5
-6A + 10B - 16 = 0 => B = (16+6A)/10 = 37/25
=> yчн1 = ((-1/5)*x+(37/25))*e^(-x);
yчн2 = (Cx^2 + Dx + E) для ДУ
y'' -4*y' +5*y =x^2
yчн2' = 2Сx + D
yчн2'' = 2C
=> (5C-1)*x^2 + (-8C + 5D)*x + 2C - 4D + 5E = 0
=> 5C - 1 = 0 => C = 1/5
-8C + 5D = 0 => D = (8/5)C = 8/25
2C - 4D + 5E = 0 => E = (4D - 2C)/5 = 22/125.
=> yчн2 = (1/5)*x^2 + (8/25)*x + (22/125)
=> yон = yoo + yчн = e^(2x)*(C1*sin(x) + C2*cos(x)) + ((-1/5)*x+(37/25))*e^(-x) + (1/5)*x^2 + (8/25)*x + (22/125) - общее решение искомого неоднородного,
где C1 и C2 - константы.

Ответ. 1. y''+9*y-sin(3*x)-2*e^x=0; 2. y''-4*y'+5*y-(16-2*x)*e^(-x)-x^2=0;