Помогите решить дифференциальное уравнение

Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения можно воспользоваться следующим методом:

Поделим обе части уравнения на y^n:
dy/dx = xy^(-n) + y^(-n)

Сделаем замену переменной: z = y^(1-n)
Тогда y = z^(1/(1-n))

Найдем производную z по x:
dz/dx = (1-n)y^(-n)dy/dx = (1-n)x + (1-n)z

Подставим полученное выражение для dz/dx в уравнение, получившееся после замены переменной:
(1-n)xz' + (1-n)z = x

Решим полученное уравнение относительно z:
Получим линейное уравнение первого порядка: z' + (1/(1-n))xz = x/(1-n)

Используя метод интегрирующего множителя, найдем его:

mu(x) = exp(integral(1/(1-n)dx)) = exp(ln|x|/(1-n)) = |x|^(-1/(1-n))

Умножим обе части уравнения на mu(x):

|x|^(-1/(1-n))z' + x^(-n/(1-n))z = x^(-1/(1-n))

Применяем формулу интегрирующего множителя:

d/dx(|x|^(-1/(1-n))z) = x^(-1/(1-n))

Интегрируем обе части:

|x|^(-1/(1-n))z = (-1/(1/(1-n)))x^(1/(1-n)) + C

где C - произвольная постоянная.

Возвращаемся к исходной переменной y:
z = y^(1-n)

|x|^(-1/(1-n))y^(1-n) = (-1/(1/(1-n)))x^(1/(1-n)) + C

y = [(-1/(1/(1-n)))x^(1/(1-n)) + C]*|x|^((1-n)/(1-n))

y = C*|x|^((1-n)/(1-n)) - x^(1/(1-n))

Ответ: y = C*|x| + x^(-1/2), где С - произвольная постоянная.

Ваша задачка Коши для уравнения второго порядка:

• (y(x) - 1) y''(x) = y'(x)², y(0) = 2, y'(0) = 1;

при замене:
y'(x) = z(y(x)),
распадается на две задачи первого порядка:

• (y - 1) z'(y) = z(y), z(2) = 1;
• y'(x) = z(y(x)), y(0) = 2.

Первую задачук легко решите разделением переменных, найдете z(y). При известном z(y) решите вторую задачку, получите решение исходной задачи.

Перепишем вот так:
(d(y')/dx)·(1/(y')²)=1/(y-1)
и умножим на dy:
d(y')·(dy/dx)·(1/(y')²=dy/(y-1)
d(y')·(y')·(1/(y')²=dy/(y-1)
d(y')/y'=dy/(y-1)
d(ln(y'))=d(ln(y-1))
ln(y')=ln(y-1)+C₁ из начальных условий С₁ =0
Получится: y'=y-1
дальше совсем просто