Помогите решить диф.уравнения! xy'+2y=x^2 y"-4y'+5y=0 y"+y'-2y=0

1) xy ' + 2y = x^2
y ' + 2y/x = x
Типичное уравнение
y ' + p(x) * y = q(x), где p(x) = 2/x, q(x) = x
Его решение
y = e^(-Int p(x) dx) * {C + Int [q(x) * e^(Int p(x) dx)] dx}
В нашем случае
y = e^(-Int (2/x) dx) * {C + Int [x * e^(Int (2/x) dx)] dx} = e^(-2ln |x|) * {C + Int [x * e^(2ln |x|)] dx} = e^(ln (x^(-2)) * {C + Int [x * e^(ln (x^2))] dx} =
= x^(-2) * {C + Int [x * x^2] dx} = x^(-2) * {C + Int (x^3) dx} = x^(-2) * {C + x^4/4} = x^2/4 + C/x^2

2) y " - 4y ' + 5y = 0
Хар-кое уравнение
k^2 - 4k + 5 = 0
k^2 - 4k + 4 + 1 = 0
(k - 2)^2 + 1 = 0
k1 = 2 + i, k2 = 2 - i
y = e^(2x) * (C1*cos x + C2*sin x)

3) y " + y ' - 2y = 0
Хар-кое уравнение
k^2 + k - 2 = 0
k1 = -2, k2 = 1
y = C1e^(-2x) + C2e^x

xy'+2y=x² => x²y'+2xy=x³
Так как (х²у) ’=2xy+x²y, то
x²y=∫x³dx=x^4/4+C => y=x²/4+C/x^2.

y"-4y'+5y=0
Характеристическое уравнение: r²-4r+5; r1=2+i, r2=2-i.
Общее решение однородного уравнения: Y=(e^2x)•(C1sinX+C2cosX)

y"+y'-2y=0
Характеристическое уравнение r²+r-2=0; r1=1, r2=-2.
Общее решение однородного уравнения: Y=C1•e^x+C2•e^(-2x).

умножим обе части на х:
x²y'+2xy=x³
(x²y)'=x³
x²y=∫x³dx
x²y=x⁴/4+C
y=x²/4+C/x²

p.s. пропустил 4, спасибо Юрию

2-е и третье ур-е:

заменяешь "игрек два штриха" на "к в квадрате", "игрек штрих" на "к", а игрек - на 1. получаешь квадратное ур-е (1).

находишь оба к (если действит. корни, если там комплексные числа, то не знаю)

тогда решение ур-я будет таким: у = с1 * ехр (к1*х) + с2 * ехр (к2*х) , где к1 и к2 - корни ур-я (1)

как первое решать я не помню

умножим обе части на х:
x²y'+2xy=x³
(x²y)'=x³
x²y=∫x³dx
x²y=x⁴/4+C
y=x²/4+C/x²