исследовать функцию y=8(x+1)/x^2

1. Область определения функции: (-бесконечности; 0) и (0; бесконечности)
2. Множество значений функции: [2; бесконечности)
3. Проверим, является ли данная функция четной или нечтной:
у (х) =8(x+1)/x^2
у (-х) =8(-x+1)/(-x)^2=8(-x+1)/x^2, так как у (х) не=у (-х) и у (-х) не= -у (х) , то функция не является ничетной ни нечетной.
4. найдем координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
у=0, тогда 8(x+1)/x^2=0
х+1=0
х=-1
График пресекает ось абсцисс в точке (-1;0) Ось ординат график функции не пересекает, так как х не=0
5. Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции.
y'(x)= (-8x-16)/x^3; y'(x)=0
(-8x-16)/x^3=0
-8х-16=0
х=-2
Получили одну стаионарную точку х=-2, проверим её на экстремум:
Так как на промежутках (-бесконечность; -2) и (0; бесконечность) y'(x)<0, то на этих промежутках функция убываетю
Так как на промежутке (-2;0) y'(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.
Следовательно точка х=-2 является точкой минимума.
у (-2)=-2
6. Найдем промежутки выпуклости функции и точки перегиба:
y"(x)=(8x+32)/x^4: y"9x)=0
(8x+32)/x^4=0
8x+32=0
x=-4
Проверим полученную точку на перегиб:
Так как на промежутке (-бесконечности; -4) y"(x)<0, но на этом промежутке графмк функции направлен выпуклостью вверх
Так как на промежутках (-4;0) и (0; бесконечности) y"(x)>0, то на этих промежутках график функции направлен выпуклостью вниз
Следовательно х=-4 - точка перегиба
у (-4)=-1,5
7. Проверим имеет ли график данной функции асимптоты:
а) вертикальные
Найдем односторонние пределы функции в точке разрыва =0
lim( при х стремящемся к нулю по недостатку) (8(x+1)/x^2)=+ бесконечность
lim( при х стремящемся к нулю по избытку) (8(x+1)/x^2)=+ бесконечность
Так как пределы бесконечны, то прямая х=0 является вертикальной асимптотой.
б) наклонные, вида у=кх+в
к=lim( при х стремящемся к бесконечности) у (х) /х=lim8(x+1)/x^3=0
в=lim( при х стремящемся к бесконечности) (у (х) -кх) lim(8(x+1)/x^2)=0
Следовательно ось абсцисс является горизонтальной асимптотой.
Все, теперь строй график.