Исследовать функцию y = x ^ 4 - 2x ^ 2 + 5

Функция у = x⁴ - 2x² + 5 чётная, апериодическая и бесконечно гладкая.
Область определения D(y) = ℝ. Точек разрыва нет. График функции пересекает ось ординат в точке (0;5), а с осью абсцисс не пересекается, так как функция у(х) не имеет нулей.
lim(x→±∞)y(x) = +∞.
y' = 4x³ - 4x = 4x•(x² - 1) = 4x•(x-1)(x+1) - у функции три критические точки, в которых её производная обращается в нуль: х=-1, х=0 и х=1. На промежутках (-∞;-1) и (0;1) производная отрицательна, на промежутках (-1;0) и (1;+∞) положительна. Значит в критической точке х=-1 происходит смена убывания на возрастание и это точка минимума, в критической точке х=0 - смена возрастания на убывание и это точка максимума, а в критической точке х=1 смена убывания на возрастание и это точка минимума. Таким образом все критические точки оказываются экстремальными. Аккуратно записываем промежутки монотонности:
(-∞;-1] - промежуток убывания,
[-1;0] - промежуток возрастания,
[0; 1] - промежуток убывания,
[1;+∞) - промежуток возрастания.
Экстремальные точки входят во все эти промежутки. Значения функции в экстремальных точках:
y(-1) = y(1) = 4, y(0) = 5. В обеих точках минимума значение функции глобально минимально, так что областью значений функции у(х) является множество E(y)=[4;+∞).
Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.
y'' = 12x²-4 = 4•(3x²-1) - вторая производная имеет два нуля в двух противоположенные точках х = - √⅓ и х=√⅓. При х∈(- √⅓; √⅓) вторая производная отрицательна, а при (-∞;- √⅓)∪(√⅓;+∞) положительна. Следовательно в точке х= - √⅓ происходит смена выпуклости на вогнутость , а в точке х=√⅓ - смена вогнутости на выпуклость: это две точки перегиба. Аккуратно записываем промежутки выпуклости и вогнутости:
(-∞; - √⅓] - промежуток выпуклости,
[- √⅓; √⅓] - промежуток вогнутости,
[√⅓;+∞) - промежуток выпуклости.
Точки перегиба включаются в эти промежутки.
График: