I.Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции y= x^2/ x^2+1

ешение. Дадим х приращение Delta x, тогда у получит приращение Delta y:
y+{Delta}y=2(x+{Delta}x)^3+5(x+{Delta}x)^2-7(x+{Delta}x)-4
Найдем приращение функции:
{Delta}y=f(x+{Delta}x)-f(x)=[2(x+{Delta}x)^3+5(x+{Delta}x)^2-7(x+{Delta}x)-4]-(2x^3+5x^2-7x-4)=
{=}6x^2 Delta x+6x Delta x^2 +2 Delta x^3 +10x Delta x+5 Delta x^2 -7 Delta x.
Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
{Delta y}/{Delta x}=6x^2 +6x Delta x +2 Delta x^2 +10x+5 Delta x -7
Найдем предел этого отношения при Delta x right 0
lim {Delta x right 0}{{Delta y}/{Delta x}}=lim {Delta x right 0}{6x^2 +6x Delta x +2 Delta x^2 +10x+5 Delta x -7}=6x^2+10x-7
Следовательно, по определению производной y'=6x^2+10x-7

Пример 2. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции y= sqrt x
Решение. Находим приращение функции: Delta y=sqrt {x+ Delta x}- sqrt x. Отсюда {Delta y}/{Delta x}={sqrt {x+Delta x}- sqrt x}/{ Delta x} и lim {Delta x right 0}{{Delta y}/{Delta x}}=lim {Delta x right 0}{{sqrt {x+Delta x}- sqrt x}/ {Delta x}}
Таким образом,
y prime =lim {Delta x right 0}{{(sqrt {x+Delta x}- sqrt x)(sqrt {x+Delta x}+ sqrt x)}/ {Delta x (sqrt {x+Delta x}+ sqrt x)}}=
{=}lim {Delta x right 0}{{x+Delta x- x}/ {Delta x (sqrt {x+Delta x}+ sqrt x)}}=lim {Delta x right 0}{1/ {sqrt {x+Delta x}+ sqrt x}}=1/ {2 sqrt{x}}
Итак, y prime = 1/{2 sqrt{x}}.

Пример 3. Найти производную y=root{8}{x^2} (добавлено по просьбам)
Решение. Исходную функцию желательно сразу сократить y=root{8}{x^2}=root{4}{x}Находим приращение функции: Delta y=root{4}{x+ Delta x}-root{4}{x}. Отсюда {Delta y}/{Delta x}={root{4}{x+Delta x}-root{4}{x}}/{ Delta x} и
lim{Delta x {right} 0}{{Delta y}/{Delta x}}=lim{Delta x right 0}{{root{4} {x+Delta x}- root{4}{x}}/ {Delta x}}
Таким образом,
y prime =lim{Delta x {right} 0}{{(root{4} {x+Delta x}- root{4}{ x})(root{4} {x+Delta x}+ root{4}{ x})}/ {Delta x (root{4} {x+Delta x}+ root{4}{x})}}=lim{Delta x {right} 0}{{sqrt{x+Delta x}-sqrt{x}}/ {Delta x (root{4}{x+Delta x}+root{4}{x})}}=
{=}lim{Delta x right 0}{{(sqrt{x+Delta x}-sqrt{x})(sqrt{x+Delta x}+sqrt{x})}/ {Delta x (root{4}{x+Delta x}+root{4}{x})(sqrt{x+Delta x}+sqrt{x})}}=lim{Delta x right 0}{{x+Delta x- x}/ {Delta x (root{4}{x+Delta x}+root{4}{x})(sqrt{x+Delta x}+sqrt{x})}}=
{=}lim{Delta x right 0}{1/{ (root{4}{x+Delta x}+root{4}{x})(sqrt{x+Delta x}+sqrt{x})}}=1/ {2*root{4}{x}*2*sqrt{x}}=1/{4root{4}{x^3}}
Итак, y prime = 1/{4root{4}{x^3}}.