Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее графики: Y = x ^ 2 - 12/x - 4

JND.

y = x + 4 + 4/(x-4) = x+4+4•(x-4)⁻¹
Функция у(х) ни чётная, ни нечётная, апериодическая общего вида с областью определения D(y)=(-∞;4)∪(4;+∞). График функции пересекается с осью абсцисс в точках х=±√12, служащих нулями функции, а с осью ординат в точке с координатами (0;3).
(-∞; - √12)∪(√12;4) - область отрицательности,
(- √12; √12)∪(4;+∞) - область положительности.
lim(x→-∞)y(x) = -∞
lim(x→4-0)y(x) = -∞
lim(x→4+0)y(x) = +∞
lim(x→+∞)y(x) = +∞
В точке х=4 у функции разрыв второго рода в виде простого полюса единичной кратности. Больше точек разрыва нет, так что функция у(х) непрерывна всюду в D(y).
В области своего определения функция y(x) бесконечно гладкая.
y'(x) = 1 - 4/(x-4)² = 1-4•(x-4)⁻²
Две критические точки: х₁=2 и х₂=6.
Производная положительна при х∈(-∞;2)∪(6;+∞) и отрицательна при x∈(2;4)∪(4;6). Аккуратно записываем промежутки монотонности:
(-∞;2] - промежуток возрастания,
[2;4) - промежуток убывания,
(4;6] - промежуток убывания,
[6;+∞) - промежуток возрастания.
Критические точки, в которых производная обращается в нуль, входят в промежутки монотонности, а не исключаются из них.
В точке х=2 у функции происходит смена возрастания на убывание, следовательно это точка максимума, у(2)=4. В точке х=6 у функции происходит смена убывания на возрастание, следовательно это точка минимума, у(6)=12. Находим область значений функции:
E(y)=(-∞;4]∪[6;+∞).
Есть две асимптоты: вертикальная x=4 и наклонная у=x+4, других асимптот нет.
y'' = 8/(x-4)³. При х>4 функция выпуклая, а при х<4 вогнутая. Точек перегиба нет.
График функции состоит из двух ветвей: